Нетривиальное решение системы. Системы линейных однородных уравнений

Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными :

Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным ) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.

Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.

Следствие . Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:

Решение . Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:

Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y =a и z =b , получим x=b-a , т.е.

При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:

получим упрощенную систему

Отсюда находим, что x=z /4, y=z /2. Полагая z =4a , получим

Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством : если столбцы X 1 и X 2 - решения однородной системы AX = 0 , то всякая их линейная комбинация aX 1 + bX 2 также будет решением этой системы . Действительно, поскольку AX 1 = 0 и AX 2 = 0 , то A (aX 1 + bX 2) = aAX 1 + bAX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.

Линейно независимые столбцы E 1 , E 2 , E k , являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:

Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r , то k = n-r .

Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:

Решение . Найдем ранг основной матрицы системы:

Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n - r = 5 - 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор

Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь-ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по-лучим упрощенную систему уравнений:

Полагая, x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c , находим

Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид

С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы . Действительно, пусть Y 0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY 0 = B , и Y - общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B . Вычитая одно равенство из другого, получим
A (Y-Y 0) = 0, т.е. Y - Y 0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX =0. Следовательно, Y - Y 0 = X , или Y = Y 0 + X . Что и требовалось доказать.

Пусть неоднородная система имеет вид AX = B 1 + B 2 . Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X 1 + X 2 , где AX 1 = B 1 и AX 2 = B 2 . Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции , в электро- и радиотехнике - принципом наложения . Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.

Системы линейных однородных уравнений - имеет вид ∑a k i x i = 0. где m > n или m Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB . Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется тривиальным .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Инструкция . Выберите размерность матрицы:

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения , необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема . Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение . Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений , если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

Находим ранг матрицы.
Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример . Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,...,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 , то есть нашли общее решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Линейное уравнение называется однородным , если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных .

Доказательство : Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1 : Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство : Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2 : Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство : Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Однородная система линейных алгебраических уравнений .

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A (n. Всякая лин. комбинация

решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.

Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме

общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства - это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если - базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Линейная система называется однородной , если все ее свободные члены равны 0.

В матричном виде однородная система записывается:
.

Однородная система (2) всегда совместна . Очевидно, что набор чисел
,
, …,
удовлетворяет каждому уравнению системы. Решение
называетсянулевым илитривиальным решением. Таким образом, однородная система всегда имеет нулевое решение.

При каких условиях однородная система (2) будет иметь ненулевые (нетривиальные) решения?

Теорема 1.3 Однородная система (2)имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда рангr ее основной матрицыменьше числа неизвестныхn .

Система (2) – неопределенная
.

Следствие 1. Если число уравненийm однородной системы меньше числа переменных
, то система является неопределенной и имеет множество ненулевых решений.

Следствие 2. Квадратная однородная система
имеет ненулевые решения тогда и тогда, когда основная матрица этой системывырождена, т.е. определитель
.

В противном случае, если определитель
, квадратная однородная система имеетединственное нулевое решение
.

Пусть ранг системы (2)
т. е система (2) имеет нетривиальные решения.

Пусть и- частные решения этой системы, т.е.
и
.

Свойства решений однородной системы

Действительно, .

Объединяя, свойства 1) и 2), можно сказать, что если

…,
- решения однородной системы (2), то и всякая их линейная комбинация- также является ее решением. Здесь
- произвольные действительные числа.

Можно найти
линейно независимых частных решений однородной системы (2), с помощью которых можно получить любое другое частное решение данной системы, т.е. получить общее решение системы (2).

Определение 2.2 Совокупность
линейно независимых частных решений

…,
однородной системы (2) таких, что каждое решение системы (2) можно представить в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы (2).

Пусть

…,
- фундаментальная система решений, тогда общее решение однородной системы (2) можно представить в виде:

Где

.

Замечание. Чтобы получить ФСР, нужно найти частные решения

…,
, придавая поочередно какой-либо одной свободной переменной значение «1», а всем остальным свободным переменным – значения «0».

Получим ,, …,- ФСР.

Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, предварительно поставив на первое место последнее уравнение системы, и приведем ее к ступенчатому виду. Поскольку правые части уравнений в результате элементарных преобразований не меняются, оставаясь нулями, столбец

можно не выписывать.

̴
̴
̴

Ранг системы где
- число переменных. Система неопределенная, имеет множество решений.

Базисный минор при переменных
отличен от нуля:
выбираем
в качестве базисных переменных, остальные
- свободные переменные (принимают любые действительные значения).

Последней в цепочке матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

(3)

Выразим базисные переменные
через свободные переменные
(обратный ход метода Гаусса).

Из последнего уравнения выразим :
и подставим в первое уравнение. Получим. Раскроем скобки, приведем подобные и выразим:
.

Полагая
,
,
, где
, запишем

- общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему решений

,,.

Тогда общее решение однородной системы можно записать в виде:

Замечание. ФСР можно было найти другим путем, без предварительного отыскания общего решения системы. Для этого полученную ступенчатую систему (3) нужно было решить трижды, полагая для:
; для:
; для:
.

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые , поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений .

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов . Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо .

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.