При наблюдении сложных движений, например движения тела человека (ходьба, бег, прыжки и т.д.), кажется трудным или даже невозможным описать перемещение всех его точек. Однако, анализируя такие движения, можно заметить, что они состоят из более простых - поступательных и вращательных перемещений.

Механика поступательного движения известна читателю, поэтому раздел начинается с рассмотрения вращательного движения. Наиболее простым является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот случай позволяет ознакомиться со спецификой, терминологией и законами вращательного движения.

5.1. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно.

Размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются при его движении.

Понятие «абсолютно твердое тело» - физическая абстракция, так как любое тело способно к деформациям. Однако во многих случаях деформацией можно пренебречь.

Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела - вращение относительно неподвижной оси. Это такое движение, при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.

Известно, что в некоторых случаях для характеристики движения тела необязательно указывать движение всех его точек; так, например, при поступательном движении достаточно указать движение любой одной точки тела.

При вращательном движении вокруг оси точки тела перемещаются по разным траекториям, но за одно и то же время все точки и само тело поворачивается на одинаковый угол. Для характеристики вращения

проведем в плоскости, перпендикулярной оси, радиус-вектор к некоторой точке i (рис. 5.1). Временная зависимость угла α поворота радиуса-вектора относительно некоторого выделенного направления ОХ является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, равной первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:

Угловая скорость есть вектор, который направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта (рис. 5.2). Вектор угловой скорости в отличие от векторов скорости и силы является скользящим: у него нет определенной точки приложения, и он может быть расположен в любом месте на оси вращения. Таким образом, задание вектора ω указывает положение оси вращения, направление вращения и модуль угловой скорости.

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением, равным первой производной от угловой скорости по времени:

или в векторной форме:

Из (5.4) видно, что вектор углового ускорения совпадает по направлению с элементарным, достаточно малым изменением вектора угловой скорости dω : при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном вращении - противоположно ей.

Так как угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то, согласно (5.2) и (5.3), одновременно все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Линейные характеристики - перемещение, скорость, ускорение - различны для разных точек. Укажем в скалярном виде связь, которая может быть выведена самостоятельно, между линейными и угловыми характеристиками для i-й точки, движущейся по окружности радиусом r i:

Рис. 5.3

В заключение приведем полученные путем интегрирования соответствующих выражений формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

уравнение равномерного вращательного движения [см. (5.2)]:

зависимость угловой скорости от времени в равнопеременном вращательном движении [см. (5.3)]:

уравнение равнопеременного вращательного движения [см. (5.1) и (5.6)]:

Полезно сопоставить эти формулы с аналогичными зависимостями для поступательного движения.

5.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Момент силы _

Пусть к некоторой точке i твердого тела приложена сила F^, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 5.4).

Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиуса-вектора точки i на силу:

Раскрывая его, можно записать:

где β - угол между векторами r i и F i . Так как плечо силы h i = r i sinβ (см. рис. 5.4), то

Если сила действует под некоторым углом α к плоскости вращения (рис. 5.5), то ее можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а другая параллельна этой этой оси и не оказывает влияния на вращение тела (в реальном случае она действует лишь на подшипники). Далее будут рассматриваться только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Работа во вращательном движении

Пусть при действии силы F i (см. рис. 5.4) тело поворачивается на достаточно малый угол dα. Найдем работу этой силы.

Известное из средней школы выражение для работы силы в данном случае следует записать так:

Итак,

элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела.

Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа, совершенная всеми ими, определяется аналогично (5.12):

где М - суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.

Если при повороте тела положение радиуса-вектора изменилось от α 1 до α 2 , то работа внешних сил может быть найдена интегрированием выражения (5.13):

Момент инерции

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси. Мера инертности тела при вращении характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения. Укажем сначала, что

моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния ее от оси:

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции всех материальных точек, из которых состоит тело:

В качестве примера выведем формулу момента инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (рис. 5.6). Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm, удаленный от оси 00" на расстояние х. Ввиду малости этого участка он может быть принят за материальную точку, его момент инерции [см. (5.15)] равен:

Масса элементарного участка равна произведению линейной плотности т/l, умноженной на длину элементарного участка: dm = (m/l) dx Подставив это выражение в (5.18), получим

Чтобы найти момент инерции всего стержня, проинтегрируем выражение (5.19) по всему стержню, т.е. в пределах от -1/2 до +1/2:

Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой т:

полого однородного цилиндра (обруча) с внутренним радиусом r и внешним R относительно оси ОО", совпадающей с геометрической осью цилиндра (рис. 5.7):

сплошного однородного цилиндра (r = 0) или диска [см. (5.21)]:

однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

прямоугольною параллелепипеда относительно оси ОО", проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания (рис. 5.8):

Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс тела. При решении задач для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции тела относительно некоторой оси OO":

где J 0 - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела OO"; т - масса тела; d - расстояние между двумя параллельными осями (рис. 5.9). Единицей момента инерции является килограмм-метр в квадрате (кг-м 2).

Момент импульса

Моментом импульса (момент количества движения) материальной точки, вращающейся относительно некоторой оси, называется величина, равная произведению импульса точки на расстоянии ее до оси вращения:

Момент импульса тела, вращающегося относительно некоторой оси, равен сумме моментов импульсов точек, из которых состоит данное тело:

Так как угловая скорость всех точек твердого тела одинакова, выне-ся ω за знак суммы [см. (5.29)], получим:

(/ - момент инерции тела относительно оси), или в векторной форме:

Итак, момент импульса равен произведению момента инерции точки на угловую скорость. Отсюда следует, что направления векторов момента импульса и угловой скорости совпадают. Единицей момента импульса является килограмм-метр в квадрате в секунду (кг? м 2 ? с -1).

Формулу (5.31) полезно сравнить с аналогичной формулой для импульса в поступательном движении.

Кинетическая энергия вращающегося тела

При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела. Для твердого тела:

Полезно сопоставить выражение (5.32) с аналогичным выражением для поступательного движения.

Продифференцировав (5.32), получим элементарное изменение кинетической энергии во вращательном движении:

Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть твердое тело, на которое действовали внешние силы, повернулось на достаточно малый угол da. Приравняем элементарную работу всех внешних сил при таком повороте [см. (5.13)] элементарному изменению кинетической энергии [см. (5.33)]: M dα = J ω dω , откуда:

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения. Из (5.35) видно, что момент инерции характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: при действии внешних сил угловое ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции тела.

Основное уравнение для вращательного движения играет ту же роль, что и второй закон Ньютона для поступательного. Физические величины, входящие в это уравнение, аналогичны соответственно силе, массе и ускорению.

Из (5.34) следует, что:

Производная от момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту всех внешних сил.

Зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции можно продемонстрировать с по-

мощью прибора, изображенного на рис. 5.10. Под действием груза 1, подвешенного на нити, перекинутой через блок, крестовина ускоренно вращается. Перемещая грузики 2 на разные расстояния от оси вращения, можно изменять момент инерции крестовины. Меняя грузы, т.е. моменты сил, и момент инерции, можно убедиться, что угловое ускорение возрастает при увеличении момента силы или уменьшении момента инерции.

5.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. Как видно из (5.37), dL/dt = 0 при М = 0, откуда

Это положение известно под названием закона сохранения момента импульса: если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса этою тела остается постоянным.

Опуская доказательство, отметим, что закон сохранения момента импульса справедлив не только для абсолютно твердого тела.

Наиболее интересные применения этого закона связаны с вращением системы тел вокруг общей оси. При этом необходимо учитывать векторный характер момента импульса и угловых скоростей. Так, для системы, состоящей из N тел, вращающихся вокруг общей оси, закон сохранения момента импульса можно записать в форме:

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие этот закон.

Гимнаст, выполняющий сальто (рис. 5.11), в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, угловая скорость уменьшается. Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси (рис. 5.12), в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановиться.

Такое же явление может быть продемонстрировано на скамье Жуковского, которая представляет собой легкую горизонтальную платформу, вращающуюся с малым трением вокруг вертикальной оси. При изменении положения рук изменяются момент инерции и угловая скорость (рис. 5.13), момент импульса остается постоянным. Для усиления демонстрационного эффекта в руках человека гантели. На скамье Жуковского можно продемонстрировать векторный характер закона сохранения момента импульса.

Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье, получает от помощника велосипедное колесо, вращающееся вокруг вертикальной оси (рис. 5.14, слева). В этом случае момент импульса системы человек и платформа-колесо определяется только моментом импульса колеса:

здесь J ч - момент инерции человека и платформы; J K и ω κ - момент инерции и угловая скорость колеса. Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, то L сохраняется (L = const).

Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на 180° (рис. 5.14, справа), то момент импульса колеса будет направлен противоположно первоначальному и равен J K ω K . Так как вектор момента импульса колеса изменяется, а момент импульса системы сохраняется, то неизбежно должен измениться и момент импульса, человека и платформы, он уже не будет равен нулю 1 . Момент импульса системы в этом случае

1 Небольшим несовпадением оси колеса с осью вращения платформы можно пренебречь.

По формуле (5.42) можно приближенно оценить момент инерции тела человека вместе с платформой, для чего необходимо измерить ω κ , ω 4 и найти J k . Способ измерения угловых скоростей равномерного вращения известен читателю. Зная массу колеса и предполагая, что в основном масса распределена по ободу, по формуле (5.22) можно определить J k . Для уменьшения ошибки можно утяжелить обод велосипедного колеса, проложив по нему специальные шины. Человек должен располагаться симметрично оси вращения.

Более простой вариант рассмотренной демонстрации состоит в том, что человек, стоящий на скамье Жуковского, сам приводит во вращение колесо, которое он держит на вертикальной оси. При этом человек и платформа начинают вращаться в противоположные стороны (рис. 5.15).

5.4. ПОНЯТИЕ О СВОБОДНЫХ ОСЯХ ВРАЩЕНИЯ

Тело, вращающееся вокруг фиксированной оси, в общем случае действует на подшипники или другие устройства, которые сохраняют неизменным положение этой оси. При больших угловых скоростях и моментах инерции эти воздействия могут быть значительными. Однако в любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без каких-либо специальных устройств. Чтобы понять, какому условию должен удовлетворять выбор таких осей, рассмотрим следующий пример.

Сопоставляя (5.43) с координатами центра масс, замечаем, что силы, действующие на ось, уравновешиваются, если ось вращения проходит через центр масс.

Таким образом, если ось вращения проходит перпендикулярно стержню через центр масс, то воздействия на эту ось со стороны вращающегося тела не будет. Если при этом убрать подшипники, то ось вращения начнет перемещаться, сохраняя неизменным положение в пространстве, а тело будет продолжать вращение вокруг этой оси.

Оси вращения, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве, называют свободными. Примерами таких осей являются оси вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела и т.п.

У тела произвольной формы всегда имеется по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые могут быть свободными осями вращения. Эти оси называют главными осями инерции. Хотя все три главные оси инерции являются свободными, наиболее устойчивым будет вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Дело в том, что в результате неизбежного действия внешних сил, например трения, а также в связи с тем, что трудно задать вращение точно вокруг определенной оси, вращение вокруг остальных свободных осей неустойчиво.

В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно само изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом.

Это явление демонстрируют следующим опытом. К электродвигателю подвешена на нити цилиндрическая палочка, которая может вращаться вокруг своей геометрической оси (рис. 5.17, а). Момент инерции относительно этой оси J 1 = тR 2 /2. При достаточно большой угловой скорости палочка изменит свое положение (рис. 5.17, б). Момент инерции относительно новой оси равен J 2 = ml 2 /12. Если l 2 >6R 2 , то и J 2 > J 1 . Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.

Читатель может самостоятельно на опыте убедиться, что вращение брошенной спичечной коробки устойчиво относительно оси, проходящей перпендикулярно большей грани, и неустойчиво или менее устойчиво относительно осей, проходящих перпендикулярно другим граням (см. рис. 5.8).

Вращение животных и человека в свободном полете и при различных прыжках происходит вокруг свободных осей с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы тела, то при разных позах будут и различные свободные оси.

5.5. ПОНЯТИЕ О СТЕПЕНЯХ СВОБОДЫ

Положение свободной материальной точки в пространстве задается тремя независимыми координатами: х, у, z. Если точка не свободна, а перемещается, например, по некоторой поверхности, то не все три координаты будут независимыми.

Независимые переменные, характеризующие положение механической системы, называют степенями свободы.

У свободной материальной точки три степени свободы, в рассмотренном примере - две степени свободы. Так как молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, следовательно, такая свободная молекула тоже имеет три степени свободы.

Еще некоторые примеры.

Две материальные точки 1 и 2 жестко связаны друг с другом. Положение обеих точек задано шестью координатами x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , на которые наложены одно ограничение и одна связь, математически выражаемая в форме уравнения:

Физически это означает, что расстояние между материальными точками всегда l. В этом случае число степеней свободы равно 5. Рассмотренный пример является моделью двухатомной молекулы.

Три материальные точки 1, 2 и 3 жестко связаны друг с. другом. Девять координат характеризуют положение такой системы: x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , x 3 , y 3 , z 3 . Однако три связи между точками обусловливают независимость только шести координат. Система имеет шесть степеней свободы. Так как положение трех точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяет положение твердого тела, то и твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Такое же число степеней свободы (шесть) имеют трехатомные и многоатомные молекулы, если эти молекулы рассматривать как жесткие образования.

1 Если для зависимой координаты из (5.44) получают мнимую величину, это означает, что выбранные независимые координаты не соответствуют каким-либо точкам, расположенным на сфере заданного радиуса.

В реальных многоатомных молекулах атомы находятся в колебательных движениях, поэтому число степеней свободы таких молекул более шести.

Число степеней свободы определяет не только число независимых переменных, характеризующих положение механической системы, но и, что очень важно, число независимых перемещений системы. Так, три степени свободы свободной материальной точки означают, что любое перемещение точки можно разложить на независимые перемещения по трем осям координат. Так как точка не имеет размеров, то говорить о ее вращении не имеет смысла. Итак, материальная точка имеет три степени свободы поступательного движения. Материальная точка на плоскости, сфере или иной поверхности имеет две степени свободы поступательного движения. Перемещение материальной точки вдоль кривой (условный пример - движение поезда по рельсам) соответствует одной степени свободы поступательного движения.

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы вращательного движения. Колесо поезда имеет две степени свободы: одна - вращательного движения, а другая - поступательного (перемещение оси колеса вдоль рельса). Шесть степеней свободы твердого тела означают, что любое перемещение этого тела можно разложить на составляющие: перемещение центра масс раскладывается на три поступательных движения по осям координат, а вращение состоит из трех более простых поворотов относительно осей координат, проходящих через центр масс.

На рис. 5.18-5.20 показаны шарнирные соединения, соответствующие одной, двум и трем степеням свободы.

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Рис. 5.20

5.6. ЦЕНТРИФУГИРОВАНИЕ

Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, например частиц от жидкостей, в которых они находятся, обусловленный их вращением.

Рассмотрим разделение неоднородных систем в поле силы тяжести. Предположим, что имеется водная суспензия частиц различной плотности. Со временем благодаря действию силы тяжести и выталкивающей силы F A происходит расслаивание частиц: частицы с большей, чем у воды, плотностью тонут, частицы с меньшей, чем у воды, плотностью всплывают. Результирующая сила, действующая, например, на более плотную отдельную частицу, равна:

где ρ 1 - плотность вещества частицы; ρ - плотность воды; V - объем частицы.

Если значения ρ 1 и ρ мало отличаются друг от друга, то сила F p мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. В центрифуге (сепараторе) такое разделение производят принудительно, вращая разделяемую среду.

Рассмотрим физику этого явления.

Пусть рабочий объем центрифуги (рис. 5.21: а - внешний вид; б - схема рабочего объема) полностью занят какой-либо однородной жидкостью. Выделим мысленно небольшой объем V этой жидкости, находящийся на расстоянии r от оси вращения OO". При равномерном вращении центрифуги на выделенный объем кроме силы тяжести и выталкивающей силы, которые уравновешивают друг друга, действует центростремительная сила. Это сила со стороны окружающей объем жидкости. Она, естественно, направлена к оси вращения и равна:

где ρ - плотность жидкости.

Предположим теперь, что выделенный объем V - это сепарируемая частица, плотность вещества которой ρ 1 (ρ 1 Φ ρ). Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидкости, не изменится, как это видно из формулы (5.45).

Для того чтобы частица вращалась вместе с жидкостью, на нее должна действовать центростремительная сила, равная:

где m 1 - масса частицы, а ρ 1 - соответствующая ей плотность.

Рис. 5.21

Если F > F 1 , то частица перемещается к оси вращения. Если F < F 1 , то воздействия на частицу со стороны жидкости будет недостаточно, чтобы удержать ее на круговой траектории, и частица по инерции начнет перемещаться к периферии. Эффект сепарации определяется превышением силы F, действующей со стороны жидкости на выделенную частицу, над тем значением центростремительной силы F 1 , которое обусловливает движение по окружности:

Это выражение показывает, что эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения 1 .

Сравним разделение центрифугированием с разделением с помощью силы тяжести:

1 Сила тяжести и выталкивающая сила при выводе формулы (5.47) не учитываются, так как они направлены вдоль оси вращения и не оказывают принципиального влияния на центрифугирование.

Ультрацентрифуги способны разделить частицы размером менее 100 нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях для разделения биополимеров, вирусов и субклеточных частиц.

Быстрота сепарации особенно важна в биологических и биофизических исследованиях, так как со временем может существенно измениться состояние изучаемых объектов.

Действительно, раскрутил карусель, – и вертись себе по инерции. Если подшипники карусели хорошие, то это можно делать достаточно долго. Современные маховики в накопителях энергии вращаются без помощи мотора более недели. Чем не вращение по инерции? Более того, если «помогать» этому маховику мотором, то он будет вращаться с совершенно постоянной угловой скоростью. Можно ли это назвать вращением по инерции?

Строго говоря, нет. Мы же раскритиковали Галилея, который именно движение точки по кругу считал инерционным. Но это потому, что на точку в этом случае должна обязательно действовать внешняя сила. А тогда движение уже не инерционное.

Поступим хитрее – возьмем много точек, расположенных по кругу, скрепим их друг с другом покрепче и раскрутим. Вот мы и получили маховик, который вращается, заметьте, без приложения внешних сил (мы его не трогаем!). Поместим такой маховик в космическое пространство – не понадобится ни подвес, ни мотор. Предмет сам собой вращается, никаких сил не требует.

Отвечайте, коллеги-физики, – по инерции он движется или нет?

Вопрос, казалось бы, для школьника, но боюсь, что он станет проблемой и для специалиста-физика.

Ответ первый:

– Да он вообще не движется, центр его масс, который находится на оси, неподвижен, стало быть, маховик неподвижен!

– Нет, – не согласимся мы, – а как же его кинетическая энергия? Может ли неподвижное тело обладать кинетической энергией и немалой?

Второй ответ:

– Это движение по инерции, потому что оно происходит без какого-либо внешнего воздействия!

– Позвольте, – возразим мы, – но такое движение согласно первому закону Ньютона может быть только прямолинейным и равномерным. Может, Ньютон чего-нибудь не учел?

Все учел Ньютон, просто вопрос не так уж тривиален, как может показаться сразу.

В чем различие между инерцией прямолинейного и вращательного движения?

Как известно, инерция, или инертность, массивной точки зависит только от ее массы. Масса является мерой инертности тела при прямолинейном движении. Значит, при таком движении на инерцию не влияет распределение масс в теле, и это тело можно смело принять за материальную (массивную) точку. Масса этой точки равна массе тела, а расположена она в центре тяжести, или, что почти то же, в центре масс, или центре инерции тела (поэтому «тело» в законах Ньютона справедливо заменено «материальной точкой»).

Проведем следующий опыт. Попытаемся вращать вокруг вертикальной оси стержень с насаженными на него массами (грузами), например, металлическими шарами. Пока эти шары находятся близ центра, раскрутить стержень легко, инертность его мала. Но если мы раздвинем массы на края стержня, то раскрутить такой стержень станет намного труднее, хотя масса его осталась без изменения (рис 52). Стало быть, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но и (даже в большей степени) от распределения этих масс относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращении является так называемый момент инерции.

Рис. 52. Изменение момента инерции тела при неизменной его массе: 1 – стержень; 2 – груз

Моментом инерции тела относительно данной оси называется величина, равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от этой оси.

Таким образом, разница в мере инертности прямолинейного движения и вращения состоит в том, что в первом случае она измеряется массой, а во втором – моментом инерции.

Далее. Как мы знаем, закон инерции устанавливает эквивалентность относительного покоя и равномерного прямолинейного движения – движения по инерции. Ибо нельзя никаким механическим опытом установить, покоится ли данное тело или движется равномерно и прямолинейно. Во вращательном движении это не так. Например, совсем не безразлично, покоится ли волчок или вращается равномерно, с постоянной угловой скоростью. Угловая скорость твердого тела является величиной, характеризующей его физическое состояние. Угловая скорость может быть определена (например, измерением центростремительных сил) без какой-либо информации о положении тела по отношению к «абсолютной» системе координат. То есть если даже вся Вселенная исчезнет, а останется только наше вращающееся тело, то мы и в этом случае узнаем его угловую скорость. Поэтому термин «абсолютная угловая скорость тела» в отличие от «абсолютной скорости точки» должен употребляться в прямом смысле (без кавычек).

Таким образом, механические явления в покоящейся и вращающейся системах будут протекать по-разному, не говоря уже о том, что падение и движение тел во вращающейся системе происходят иначе, чем в неподвижной: достаточно хорошенько ее раскрутить – и она развалится на части из-за возникших в ней напряжений.

Поэтому второе отличие состоит в том, что прямолинейное движение и покой эквивалентны, а вращение, даже с постоянной угловой скоростью, может быть четко отделено не только от покоя, но и от вращения с другой угловой скоростью.

Вот, пожалуй, и все основные отличия. Остальное настолько одинаково, что можно взять на себя смелость сформулировать по образу и подобию ньютоновых законов «закон» инерции вращательного движения абсолютно твердого тела: «Изолированное от внешних моментов абсолютно твердое тело будет сохранять состояние покоя или равномерного вращения вокруг неподвижной точки или оси до тех пор, пока приложенные к телу моменты внешних сил не заставят его изменить это состояние».

Почему же абсолютно твердое тело, а не любое? Потому что у нетвердого тела из-за вынужденных (или заранее предусмотренных) деформаций при вращении может измениться момент инерции, а это равносильно изменению массы тела в прямолинейном движении. Мы же не упоминаем этого случая, когда формулируем закон инерции, иначе он бы начинался так: «Изолированная от внешних воздействий материальная точка постоянной массы …» А эта точка может легко менять свою массу. Самолет или ракета, двигаясь за счет сжигания горючего, довольно существенно изменяют свою массу. Даже человек, пройдя достаточное расстояние, изменяет свою массу настолько, что это фиксируется медицинскими весами. А как отразится это изменение массы на инерции? Ведь при изменении массы возникает дополнительная, так называемая реактивная сила. О каком же движении по инерции может идти речь, когда на тело действует сила?

Так и в случае вращательного движения: если момент инерции непостоянен, приходится принимать постоянной не угловую скорость, а произведение угловой скорости на момент инерции – так называемый кинетический момент. В этом случае закон инерции примет такую форму: «Изолированное от внешних моментов относительно оси вращения тело будет сохранять кинетический момент относительно этой оси постоянным». Этот закон (в несколько иной формулировке) носит название закона сохранения кинетического момента.

Для демонстрации этого закона удобно воспользоваться простым прибором, называемым платформой (скамьей) Жуковского. Это круглая горизонтальная платформа на подшипниках, которая с малым трением может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 53). Если человек, стоя на этой платформе и вращаясь с некоторой угловой скоростью, разведет в сторону руки (еще лучше с грузами в них, например, гантелями), то его момент инерции относительно вертикальной оси повысится, а угловая скорость сильно упадет. Опуская руки, человек внутренним усилием сообщает себе первоначальную угловую скорость. Даже стоя на платформе неподвижно, можно повернуть корпус в любую сторону, вращая вытянутую вверх руку в противоположном направлении. Таким способом изменения угловой скорости широко пользуются в балете, акробатике и т. п., даже кошки успешно приземляются на лапы благодаря вращению хвоста в соответствующем направлении.

Рис. 53. Платформа Жуковского и человек

На явлении инерции вращательного движения основаны многочисленные приборы и машины, в частности, инерционные двигатели – аккумуляторы, сохраняющие кинетическую энергию при инерционном вращении маховика, и гироскопические приборы, сохраняющие, образно говоря, его кинетический момент. Существуют также и маховики переменного момента инерции, напоминающие по принципу действия человека на платформе Жуковского.

Реальны ли центробежные силы?

Мы уже знаем, что так называемые силы инерции, которые мы добавляем к реально действующим силам якобы для облегчения решения задач, на самом деле не существуют. Слово «якобы» автор употребил потому, что иногда это «облегчение» оборачивается такой ошибкой, что лучше бы и не использовать этих сил инерции вообще. Тем более сейчас, когда всю счетную работу выполняют компьютеры, а им почти все равно, облегчили мы расчеты или нет.

Так вот для вращательного движения вопрос с силами инерции обстоит гораздо запутаннее, чем для прямолинейного. И последствия ошибок могут быть хуже. Чего стоят хотя бы пресловутые центробежные силы? Почти каждый из нас, включая даже научных работников, думает, что такие силы есть и действуют они на вращающуюся точку или тело. И бывают очень обескуражены, когда узнают, что их нет и быть не может.

Приведем простейший, но тем не менее убийственный для этих сил пример. Известно, что Луна вращается вокруг Земли. Спрашивается, действуют ли на нее центробежные силы? Спросите, пожалуйста, об этом своих товарищей, родителей, знакомых. Большинство ответит: «Действуют!» Тогда вы поспорьте с ними на что хотите и начинайте доказывать, что этого не может быть.

Основных довода – два. Первый: если бы на Луну действовала центробежная сила (то есть сила, направленная от центра вращения наружу), то она могла бы действовать только со стороны Земли, так как других тел поблизости нет. Думаю, что напоминать о том, что силы действуют на тела только со стороны других тел, а не «просто так», уже не надо. А если все так, то, значит, Земля не притягивает, а отталкивает Луну – от себя наружу. Между тем, как мы знаем, существует закон всемирного тяготения, а не отталкивания. Поэтому на Луну может действовать со стороны Земли только одна-единствен-ная сила – притяжения P, направленная точно наоборот – от Луны к Земле. Такая сила называется центростремительной, и она реально есть, она-то и сворачивает Луну с прямолинейного инерционного пути и заставляет вращаться вокруг Земли. А центробежной силы, извините, нет (рис. 54).

Второй довод. Он для тех, кто не знает о существовании закона всемирного тяготения или забыл его. Тогда если бы на Луну действовала центробежная сила (естественно, со стороны Земли, так как других тел, как мы уже знаем, поблизости нет), то Луна не стала бы вращаться вокруг Земли, а улетела бы прочь. Если на Луну не действовало бы вообще никаких сил, то она спокойно пролетела бы мимо Земли по инерции, то есть по прямой (мы же забыли о всемирном тяготении!). А если бы со стороны Земли на Луну действовала центробежная сила, то Луна, подлетая к Земле, свернула бы в сторону и под действием этой силы улетела бы навсегда в космическое пространство. Только бы мы ее и видели! Но раз этого не происходит, стало быть, центробежной силы нет. Вы выиграли спор, причем в любом случае. А появилась эта центробежная сила оттуда же, откуда и силы инерции в прямолинейном движении – из принципа Даламбера. Здесь, во вращательном движении, этот принцип еще более облегчает решение задач, чем в прямолинейном. Еще бы, прикладываем к существующей центростремительной силе несуществующую центробежную – и Луна как бы зависает на месте! Делайте с ней, что хотите, определяйте ускорения, скорости, радиусы орбиты, периоды обращения и все остальное. Хотя все это можно определить и без использования принципа Даламбера.

Рис. 55. Занос автомобиля на повороте (схема ГАИ)

Но Луна Луной, это все пустяки по сравнению с получением водительских прав в ГАИ. Автор преподает на автомобильном факультете, где все его студенты обязаны получать права и все стонут от ГАИвской физики. Жалуются, что в ГАИ им объясняют движение автомобиля на повороте так: «Поскольку при повороте на автомобиль действует сила тяги, направленная вперед по касательной, и центробежная сила, действующая наружу, то занести машину может только наружу от касательной» (см. схему на рис. 55). Но так как вместо центробежной на автомобиль действует центростремительная сила, направленная точно наоборот, то занесет машину внутрь от касательной! Если, конечно, не учитывать других причин – увода колес, переворачивания, бокового ветра, удара сбоку и т. д. Таким образом, центробежная сила, вернее, учет ее вместо центростремительной, может привести к аварии, или ДТП, так как автомобиль поедет совсем не туда, куда рассчитывали.

Если на автомобиль и действует какая-нибудь сила P, то только со стороны дороги на колеса (воздух здесь ни при чем, его не учитываем). Если эта сила центробежная, то она будет прогибать шины от центра наружу, а если центростремительная – то, наоборот, к центру. А любой инспектор ГАИ отлично знает, что на повороте шины автомобилей прогибаются по направлению к центру (рис. 56). Значит, и сила P действует туда же, и она центростремительная. Скольких аварий удалось бы избежать, если бы в ГАИ «не злоупотребляли» принципом Даламбера!

Рис. 56. Шины при повороте прогибаются к центру поворота

Но ради справедливости заметим все-таки, что центробежные или просто направленные от центра силы все-таки бывают, но действуют они вовсе не на то тело, которое вращается, а на связь, удерживающую это тело (рис. 57). То есть не на автомобиль, а на дорогу, не на Луну, а на Землю, не на камень в праще, а на веревку и руку человека и т. д.

Рис. 57. Действие центробежных сил

Может возникнуть вопрос, а почему же все-таки падает велосипед наружу при крутом повороте, если не успел наклониться внутрь, почему опрокидываются наружу при поворотах на большой скорости трамваи, поезда и автомобили? Ведь центробежной силы нет, что же толкает эти машины наружу при повороте?

Поясним это на примере велосипеда, а заодно станет ясно, почему он так устойчив. Представьте себе едущий велосипед, который начинает поворачивать (рис. 58). Взглянем на него сверху. Колеса начинают «уходить» к центру поворота, влекомые силой трения с дорогой, а весь верх, включая седока, или байкера по-современному, стремится продолжать свой путь прямолинейно – по закону инерции. Что же получается? Колеса «выезжают» из-под седока вбок, и он падает набок – наружу от поворота. Но ни в коем случае не так, как объясняют это в ГАИ, – не наружу от касательной к повороту, от своего предыдущего прямолинейного пути. А точнее – где-то между окружностью поворота и этой касательной. Этим же действием инерции объясняется устойчивость движения велосипеда. Стоит начать ему падать набок, как сознательно или автоматически велосипедист поворачивает руль в сторону падения и как бы «подводит» колеса под положение наклон себя.

Рис. 58. Едущий велосипед на повороте: а – вид сверху; б – вид спереди

Таким же образом, а именно проявлением инерции, объясняется отбрасывание людей наружу на так называемом «колесе смеха», или «чертовом колесе». Можно говорить о центробежном эффекте или центробежном стремлении, благодаря которому люди, автомобили, велосипеды и т. д., движущиеся по кругу, стремятся оказаться на самом большом его радиусе, или, как это нам кажется, отбрасываются наружу (рис. 59). Естественно – они стремятся двигаться по прямой (по закону инерции), а прямая – это та же окружность, но с бесконечно большим радиусом, заведомо превышающим радиус любой окружности.

Рис. 59. Люди на вращающемся колесе отбрасываются на его края

На этом же свойстве основаны многочисленные другие аттракционы – «чертовы», или «мертвые», петли (изобретенные в 1902 г. одновременно двумя цирковыми актерами – Джонсоном и Нуазеттом) (рис. 60), наклонные карусели, которые широко используются и сегодня в парках развлечений, и т. д.

Рис. 60. «Чертова петля» и велосипед на ней

Этот же центробежный эффект используется для создания так называемой «искусственной гравитации», причем современный взгляд на природу тяготения, как это ни удивительно, не усматривает здесь особой разницы. (Кого заинтересует этот достаточно сложный вопрос, автор отсылает к своей книге ). Космические станции предполагается вращать вокруг оси так, чтобы космонавты чувствовали себя комфортно, ощущая тяжесть почти как на Земле. Нечто аналогичное происходит и с растениями, которые высаживают на внутренней части вращающегося колеса (рис. 61). Проросшие семена бобов дают ростки, устремляющиеся не вверх, как обычно, а к центру колеса, т. е. в направлении искусственной Так было показано, что и для живых организмов гравитация естественная или искусственная – все равно.

Рис. 61. Стебли проросших растений гравитации. направлены к оси, корешки – наружу

Если быть точнее, то конечно, разница есть. При естественной гравитации тела притягиваются к некой точке, а при искусственной как бы «отталкиваются» от нее, что и видно из рис. 61. Но принципиального отличия в биологическом отношении здесь нет.

Тайна вращающегося волчка

Но совсем запутано дело, когда силы инерции при вращении не Даламберовы, а Эйлеровы. Те, которые «возникают» при использовании вращающейся системы отсчета. То есть когда мы пытаемся вращающуюся систему принять за неподвижную и приложить такие силы инерции, которые сохранили бы все по-прежнему.

Вспомните человека, идущего в поворачивающем трамвае, и вы поймете, насколько сложны при этом должны быть силы, чтобы в неподвижном трамвае сбить с пути человека так же, как это произойдет с ним в поворачивающем. Всякие кориолисовы силы и гироскопические моменты, используемые при этом, – те же фиктивные силы инерции, только гораздо более сложные.

Попытаемся для примера пояснить, почему реки, текущие вдоль меридиана, в Северном полушарии подмывают правые берега, а в Южном – левые. Это можно объяснить просто и доходчиво без сил инерции, и сложно с ними, тем более несуществующими. Такое свойство рек подмывать разные берега в разных полушариях называется законом Бэра, по имени русского географа К. М. Бэра, жившего в XIX веке и подметившего эту особенность.

Земля, как известно, вращается с запада на восток. Поэтому нам и кажется, что Солнце идет над нами с востока на запад. Так как Земля вращается, она не может служить достаточно точной инерциальной (неподвижной) системой отсчета, хотя часто мы и считаем ее таковой. Поэтому нас и удивляют всякие необычные явления, которые в неподвижной системе отсчета происходить не могут.

Взглянем на Землю с высоты со стороны ее Северного полюса. Представим для простоты, что река, начинаясь на экваторе, течет прямо на север, пересекает Северный полюс и заканчивается тоже на экваторе, но уже с другой стороны. Вода в реке на экваторе имеет ту же скорость в направлении с запада на восток (это не течение реки, это ее скорость вместе с берегами и с Землей!), как и ее берега, что при суточном вращении Земли составляет около 0,5 км/с. По мере приближения к полюсу скорость берегов уменьшается, а на самом полюсе она равна нулю. Но вода в реке «не хочет» уменьшать свою скорость – она подчиняется закону инерции. А скорость эта направлена в сторону вращения Земли, то есть с запада на восток. Вот и начинает вода «давить» на восточный берег реки, который оказывается правым по течению. Дойдя до полюса, вода в реке полностью утратит свою скорость в «боковом», «касательном», направлении, так как полюс – это неподвижная точка на Земле. Но река-то продолжает течь теперь уже на юг, и берега ее вращаются опять же с запада на восток со все увеличивающейся, по мере приближения к экватору, скоростью. Западный берег начинает «давить» на воду в реке, разгоняя ее с запада на восток, ну а вода, по третьему закону Ньютона, «давит» на этот берег, который опять же оказывается правым по течению.

На Южном полушарии все происходит наоборот, потому что если взглянуть на Землю со стороны Южного полюса, то вращение ее уже будет видно в другом направлении – не против часовой стрелки, как со стороны Северного полюса, а по часовой стрелке. Все, кто имеет глобус, могут проверить это.

Вот вам и закон Бэра!

Но если попытаться пояснить то же самое с точки зрения механики относительного движения и Эйлеровых сил инерции – результат был бы плачевный. Половина читателей заснула бы, а другая половина занялась бы другими делами. Здесь без высшей математики и механики не обойтись, да и физический смысл начисто теряется. Потому-то студенты так плохо воспринимают и «сдают» этот материал. Но для сложных случаев, например теории гироскопов, без этого обойтись нельзя.

Точно так же, только пользуясь понятием инерции, можно объяснить такое сложное явление, как гироскопический эффект, поясняющий, например, таинственное поведение вращающегося волчка.

Продолжим нашу реку дальше и опишем ею замкнутый круг вокруг Земли. При этом мы заметим, что вся северная часть реки (в Северном полушарии) будет стремиться направо, а вся южная часть – налево. Вот и все объяснение гироскопического эффекта, который считается едва ли не труднейшим в теоретической механике!

Итак, наша река – это огромное кольцо или маховик, вращающийся в том же направлении, что и течение реки. Если при этом поворачивать этот маховик в направлении вращения Земли – против часовой стрелки, то вся северная его часть будет отклоняться вправо, а южная – влево. Иначе говоря, маховик будет поворачиваться так, чтобы его вращение совпало с направлением вращения Земли! А физический смысл этого явления уже понятен из рассмотрения закона Бэра.

Проверить это утверждение экспериментом проще простого, особенно тем, у кого есть велосипед. Приподнимите переднее колесо велосипеда над полом и разгоните его в направлении вращения нашей реки-маховика, то есть так же, как оно вращается при движении велосипеда вперед. А затем резко поверните руль велосипеда в направлении вращения Земли – то есть против часовой стрелки. И вы увидите, что весь велосипед наклонится верхней частью вправо, что и требовалось доказать (рис. 62).

Рис. 62. Проверка гироскопического момента на велосипедном колесе

Если под рукой нет велосипеда, а чаще всего на работе и учебе так и бывает, то можно обойтись монеткой или любым колесиком, которое можно покатать по столу. При этом вы увидите, что куда монетка будет наклоняться вбок, теряя равновесие, туда и будет сворачивать по ходу своего качения (рис. 63). Это замечательное и, главное, воспроизводимое в любой момент правило поможет вам определить поведение вращающегося колеса, маховика, диска при их вынужденных поворотах. Автор сам в своей работе только этим правилом и пользуется, и поверьте, что это намного проще, чем другими, да и проверить в любой момент можно.

Рис. 63. Правило колеса – оно сворачивает в ту же сторону, на какой бок стремится упасть

Ну а теперь в самый раз разобраться, как наступает прецессия – конусообразное движение волчка, да и самой Земли, если хотите. Итак, наша река-маховик постоянно пытается отклонить Северный полюс Земли вправо; но Земля-то крутится, вот и, постоянно отклоняясь вправо, Северный полюс начинает «выписывать» окружность. Так же поведет себя вращающийся волчок, если толкнуть его или другим способом нарушить его равновесие. Только следует знать, что прецессирует Земля не из-за рек (мы поговорим об этом тоже!), а из-за неравномерного (вне-центренного) притяжения ее, главным образом Солнцем. Ось вращения Земли «ходит кругом по конусу», образующая которого наклонена к оси конуса на угол 0,41 рад, или 23° 27 . Полный оборот вокруг оси конуса ось Земли делает за 26 тысяч лет, и, естественно, координаты звезд, в том числе и условно неподвижных (например, Полярной звезды), непрерывно меняются. Древние египтяне, например, видели на небе такие созвездия, которые их современники уже не могут видеть.

Как же определить направление прецессии любого вращающегося тела – колеса, волчка и т. д.? Да по тому же «правилу колеса», о котором уже говорилось. Итак, если любое вращающееся тело представить в виде катящегося колеса, а возмущающий момент – в виде момента, стремящегося опрокинуть это колесо набок (что, собственно, и делают силы тяжести!), то колесо это будет сворачивать в сторону падения по ходу качения. То есть если колесо падает направо, то вправо же оно и свернет. Вот это-то поворачивание колеса и есть прецессия, и так можно определить ее направление.

Возможен ли двухколесный автомобиль?

Да, автомобиль, именно автомобиль, а не велосипед, мотоцикл, мотороллер, мопед, мокик и пр., где устойчивость достигается «маневрированием» седока, или байкера. Кстати, приходится много читать о том, что устойчивость велосипеда и прочих двухколесных достигается благодаря гироскопическому эффекту их колес. Это явное преувеличение, и вот почему.

Что такое гироскопический эффект? Это возникновение момента при попытке принудительного смещения оси вращающегося тела. Одним словом, то, что мы рассматривали в предыдущем разделе. Но величину гироскопического момента мы не определяли. Для приведенного примера поворачивания велосипедного колеса, например, этот момент равен произведению момента инерции колеса на угловую скорость его вращения и на угловую скорость его поворота («вынужденной прецессии»). Для простоты решим, что масса колеса 2 кг, радиус его 0,25 м и, стало быть, момент инерции, равный произведению массы на квадрат радиуса, равен 0,125 кг?м 2 . Велосипедист спокойно маневрирует уже на скорости 1 м/с, и колесо при этом вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Угловая скорость поворота оси колеса раз в 20 меньше и равна примерно 0,2 рад/с. В результате получаем гироскопический момент, равный 0,1 Нхм. Это то же самое, если гирьку в 10 г повесить на линейку длиной в 1 м. Вряд ли такой момент чему-нибудь поможет.

В то же время едущий велосипедист, свернув всего на 10 см от прямой, если сознательно не наклонится в сторону поворота, создаст момент, равный его весу плюс полвеса велосипеда (примерно), умноженные на 0,1 м, или, грубо, 100 Нхм. Это в 1 000 раз больше, чем гироскопический момент! Вот как достигается устойчивость велосипеда.

Но нам нужен не велосипед, а автомобиль, который даже в неподвижном положении сохранял бы равновесие. Прежде всего гарантию от опрокидывания на стоянке дают разве только специальные подставки или, на худой конец, кирпичи, подложенные под борта. Не бывает устойчивости без таких подставок или без постоянного ручного или автоматического регулирования этой устойчивости. Но договоримся, что получать эту устойчивость одним поворотом колес автомобиля мы не можем, так как не сможем создавать своим телом достаточный момент, противодействующий опрокидыванию, как на велосипеде. Представьте себе, что все пассажиры автомобиля во главе с водителем будут то и дело ерзать по сиденьям, спасая автомобиль от опрокидывания. Тут нужен стабилизатор, не зависящий от поворота колес и положения пассажиров.

Вот здесь и смог бы пригодиться гироскопический эффект, о котором шла речь выше. И такой двухколесный автомобиль был создан в 1914 г. русским инженером П. П. Шиловским, а до этого англичанином Бреннаном. Правда, экипаж Бреннана передвигался по рельсу и, строго говоря, был мононорельсовым экипажем, но это сути дела не меняет. Он попроще экипажа Шиловского, с ручным управлением, и понять его принцип действия проще (рис. 64).

При наклоне вагона, допустим, на правый по ходу борт, водитель поворачивал рукоятку 3 влево. Тем самым он, заставляя прецессировать маховик в рамке 1, вызывал гироскопический момент, действующий на жестко закрепленную на платформе рамку 2 и направленный влево по движению. Вагон выправлялся. При этом безразлично, двигался вагон или был неподвижен. Такой вагон, вмещавший 40 человек, был построен для англо-японской выставки в 1912 г. и перевозил посетителей по территории выставки. Надо сказать, что водителем должен был работать мужик здоровый и тяжелый, иначе ему бы не справиться с ролью автомата-регулятора. Да и маховик должен был весить не одну сотню килограммов и крутиться достаточно быстро.

А вот экипаж Шиловского, который появился на улицах Лондона в 1914 г., освобождал человека от подобных неудобств; его схема приведена на рис. 65. Там присутствовала также подвижная рамка 1 с маховиком массой 314 кг, закрепленная на оси в неподвижной рамке, жестко связанной с кузовом автомобиля. Однако роль человека выполнял примитивный автомат, состоящий из трубки с шариком 4, который при наклоне машины перекатывался набок и замыкал соответствующий контакт 3. От этого начинал работать электромотор 2 и через зубчатую передачу вращал рамку 1 с маховиком, совсем как силач-регулировщик у Бреннана.

Что можно сказать об автомобиле Шиловского? Для своего времени это было чудо, собиравшее сотни зевак на улицах Лондона (рис. 66). Но задуман он был как военная машина для передвижения по пересеченной местности и для обычного автомобиля был очень дорог. К тому же автоматика заставляла желать лучшего, и на поворотах автомобиль вел себя неадекватно. Но роль свою он сыграл и вошел в историю автотранспорта.

Рис. 66. Двухколесный автомобиль Шиловского (общий вид)

А в 1967 г. появился и был испытан новый американский двухколесный автомобиль «Джирон» с тем же принципом стабилизации кузова. Но все было малогабаритно и современно: маховик диаметром всего 0,6 м, вращающийся с частотой 6 тысяч оборотов в минуту, умещался под капотом машины. Двигатель автомобиля мощностью всего около 60 кВт, поддерживал вращение маховика, и его хватало, чтобы двигать автомобиль со скоростью 140 км/ч. На стоянке и при низкой скорости выдвигались дополнительные колеса-упоры. Этот автомобиль легко ходил по тропам и на косогорах с поперечным уклоном до 60°, сохраняя вертикальность, чего обычный автомобиль, конечно же, сделать не сможет. Такой, по-видимому, была первоначальная задумка Шиловского, но осуществить ее в 1914 г. он не смог.

Имеет ли будущее двухколесный автомобиль? Трудно достаточно уверенно ответить на этот вопрос. Однозначного мнения у автора по этому вопросу нет. Возможно, с развитием автоматики, компьютеризацией автомобилей и потребностью весьма маневренного и экономичного автомобиля, такой и появится снова. Но в одном можно быть уверенным, что маховики появятся на автомобилях прежде всего не как стабилизаторы, а как накопители энергии, способные намного повысить экономичность и динамичность машин. Вот тогда-то почему бы уже имеющийся на автомобиле маховик не использовать еще и как стабилизатор?

Как накопить кинетическую энергию?

Когда мы раскручиваем маховик, мы накапливаем в нем кинетическую энергию. Энергия является непременным атрибутом любого вращающегося тела, и равна она половине произведения момента инерции маховика (мы уже вычисляли его для велосипедного колеса) на квадрат угловой скорости.

До каких же величин мы можем накапливать в нем энергию? Будем разгонять маховик все быстрее и быстрее, и энергия в нем будет расти еще скорее – увеличили угловую скорость в 2 раза, а энергия увеличилась в 4. Есть ли этому предел? Ну прежде всего такой маховик начнет «гонять» воздух, как хороший вентилятор. Автор раскручивал вагонное колесо (от пассажирского вагона) до 6 тысяч оборотов в минуту на специальной установке, и требовалась для этого мощность в десятки киловатт. Полная мощность двигателя автомобиля – только на поддержание вращения такого маховика!

Если же откачать воздух, то потери мощности сразу упадут в сотни раз – опоры или подшипники маховика «забирают» на свое вращение совсем немного. Но мы можем пойти дальше и поставить вместо обычных магнитные подшипники (о них речь пойдет позже) и почти совсем устраним потери на вращение маховика. Такой маховик, будучи разогнанным, будет вращаться до остановки месяцы, а то и годы. Чем больше маховик, тем больше он будет вращаться. Большой маховик – Земля – вращается уже около 4 миллиаров лет, и за это время замедлился лишь в 3 раза, хотя потери, по нашим меркам, колоссальные. Луна «тормозит» Землю в ее вращении приливами и отливами всех океанов, а это мощности, во много раз превышающие мощности, вырабатываемые человечеством искусственно.

Итак, разгоняем наш маховик (пусть все то же вагонное колесо на специальной установке, которая действительно допускает откачку воздуха из камеры вращения маховика) все больше и больше. При 8 тысячах оборотов в минуту замечаем (специальными приборами), что диск начинает вытягиваться, принимать чуть бо льшие размеры. Еще небольшая прибавка вращения – и маховик разрывается, обычно на три части, три больших осколка, глубоко проникающих в свинцовый защитный слой (рис. 67). Еще бы – скорость разлета осколков превышала 400 м/с, почти как у ружейной пули.

Рис. 67. Картина разрыва маховика

Почему же это произошло, что помешало разгонять маховик еще? Да все та же инерция. Каждая частичка маховика стремится двигаться прямолинейно, а тут ее «заставляют» сворачивать с прямолинейного пути, да причем так часто. Прочность металла маховика, пока может, мешает разлету этих частиц, но когда механические напряжения становятся чрезвычайно большими, металл не выдерживает и разрывается. Частицы (это обычно три крупных осколка!), получив свободу, разлетаются по прямым – касательным к окружности вращения.

Есть простая формула для определения напряжений в материале маховика, если он выполнен в виде обода-кольца, как чаще всего и бывает. Напряжения – ? равны плотности материала – ?, умноженной на квадрат окружной скорости – V маховика. Для только что разорванного нами вагонного колеса, изготовленного из качественной стали, эти напряжения получились:

7 800 · 400 2 = 1,25 х 10 9 Па,

где 7 800 – плотность стали, кг/м 3 ;

400 – скорость, при которой разорвало маховик, м/с.

Напряжения в 1,25 х 10 9 Па или, как чаще говорят, 1 250 МПа и есть предельные напряжения на растяжение той качественной и термообработанной стали, из которой делают колеса поездов.

Энергии при этом наше колесо накопило столько же, сколько ее и содержали в себе разлетающиеся со скоростью 400 м/с осколки – каждый килограмм осколка – 4002 м 2 /с 2 /2 = 80 000 Дж. Иными словами, удельная энергоемкость нашего маховика-колеса в момент разрыва составляла 80 кДж/кг. Много это или мало? Это почти столько же, сколько у автомобильных аккумуляторов, и в десятки раз больше, чем у лучших конденсаторов. Но мы должны помнить, что эта энергия накоплена в момент разрыва, который допустить нельзя! Поэтому этот показатель нужно уменьшить как минимум в 2 – 3 раза. Маловато получается.

А если взять материал попрочнее стали? Да и полегче, поменьше плотностью, чтобы напряжения уменьшить? Да, тогда мы можем рассчитывать на большие значения энергии, но есть ли такие материалы?

В том-то и дело, что есть, и таких в современной технике немало: стальная проволока, лента из аморфного металла (метгласс), волокна из углерода, кевлара (из такого делают бронежилеты), кварца и даже пока очень дефицитного «алмазного» волокна. Удельные энергоемкости маховиков, изготовленных из таких материалов, будут соответственно равны: 200, 500, 1 500, 1 800, 5 000 и 15 000 кДж/кг. Последние цифры очень велики – посудите сами, они почти в 100 раз больше, чем у автомобильного аккумулятора! Еще лет 20 назад такие цифры были опубликованы и у японцев, и американцев.

Рис. 68. Проволочный супермаховик с концами проволок внутри навивки:

1 – навивка к центру (стрелками показано направление навивки); 2 – обычная навивка; 3 – вал; 4 – щека

А можно ли изготовлять маховики из таких волокон или лент? Ведь их обычно отливают или куют. Оказывается, можно, и в ряде случаев это даже легче, чем отливать или ковать. Эти волокна и ленты надо навивать на центр или ступицу маховика, почти так же, как мы навиваем нитки на катушку. Только центр этот должен обладать необходимой упругостью, навивка должна происходить с определенным натягом, а последний виток должен оказаться не снаружи, а внутри навивки (рис. 68). И если это все выполнить, мы получим чудесный, сверхэнергоемкий маховик, названный супермаховиком, который и разрываться-то будет безопасно, без осколков. В супермаховике, навитом из ленты (рис. 69, а), при случайном (или намеренном!) превышении критической скорости вращения разрывается самый тяжело нагруженный внешний виток; он отходит от основной намотки и, прижимаясь к корпусу маховика, трением тормозит вращение (рис. 69, б). Кроме высокой энергоемкости мы получаем еще и безопасность, столь важную для маховиков!

Рис. 69. Маховик, навитый из прочной ленты (а), и картина разрыва его в кожухе (б): 1 – лента; 2 – кожух; 3 – центр

Изобретение супермаховика было сопряжено с рядом курьезов, соответствующих прошедшей эпохе. В мае 1964 г. 24-летний аспирант, автор этих строк, подает заявку на изобретение супермаховика. Но так как в те, еще советские, времена изобретение считалось «добровольным подарком» государству, заявки тщательно проверялись на полезность. Чтобы кто угодно не дарил государству чего попало. Теперь на полезность изобретения не проверяют: заплатил пошлину – получай патент! Если он не полезный – разоряйся сам!

Так вот «компетентная» организация определила, что маховики нужно ковать или отливать, а навивать их из проволоки или волокон – глупость! Так автору и отказали в выдаче авторского свидетельства (того, что тогда заменяло патент). Но приоритет-то остался. По тем же советским законам если полезность будет доказана, то изобретения можно будет снова признать. Сами заявки при этом отлеживались в подземелье в секретном хранилище где-то на Урале. И вот приходит время, и в январе 1965 г. заявку на супермаховики подают американцы, а за ними потоком все развитые страны. Супермаховики строят, используют в технике (особенно в авиационной и космической – они пока дорогие!), по ним созывают международные симпозиумы. Автор подал апелляцию и – надо же – ему выдают авторское свидетельство с приоритетом 1964 г., но… 20 лет спустя, т. е. через срок, когда все права на изобретения становятся всеобщими. Таковы патентные законы! Но автор доволен и этим – хоть будем знать, кто и в какой стране первым изобрел супермаховик!

Вот как и в чем лучше всего накапливать механическую энергию, да и энергию вообще. Дело в том, что прогресс в деле создания сверхпрочных материалов не стоит на месте, и уже предсказано создание так называемых «плотноупакованных» и «звездных» материалов фантастической прочности и плотности. Маховик из таких материалов сможет, например, служить двигателем, т. е. снабжать энергией автомобиль весь срок его службы, будучи раскрученным еще на конвейере!

Пружина, резина или газ?

Позвольте, маховики, супермаховики… а что, в пружинах, как это делается, например, в механических часах или игрушках, разве не запасают механическую энергию? Ведь существуют же «упругие» накопители, или аккумуляторы энергии.

Аккумуляторы с использованием упругости или потенциальной энергии применялись человеком еще в глубокой древности: вспомним хотя бы о луках, самострелах и катапультах. В эпоху Возрождения пружинные двигатели можно было встретить в заводных игрушках, часах и даже в «самобеглых» каретах (рис. 70), предназначенных исключительно для торжественного выезда королей. Пружины тогда ковали кузнецы, и стоили они весьма дорого.

Рис. 70. Механическая карета XVI в. с пружинным двигателем, заводимым ступальным колесом (с рисунка Альбрехта Дюрера)

Сейчас же пружинные двигатели для самых различных механизмов выпускаются многомиллионными сериями. Наиболее распространенные из них – двигатели со спиральной пружиной. Закаленная пружинная лента закладывается в обойму (барабан), крепится одним концом к ней, другим – к валу и заворачивается вокруг него (рис. 71). В таком «взведенном» состоянии пружина «заневоливается», т. е. оставляется на несколько часов или дней для стабилизации упругих свойств. КПД этих двигателей выше 0,9. Пружинная лента работает на изгиб. Причем та ее часть, что напряжена сильнее (навернута на меньший диаметр), аккумулирует больше энергии; периферийные же части напряжены слабее – стало быть, и аккумулируют меньше энергии. Если же пружину предварительно изогнуть S-образно, тогда все ее участки будут напряжены равномерно, и она накопит гораздо больше потенциальной энергии.

Рис. 71. Пружинный аккумулятор со спиральной пружиной (а) и S-образная спиральная пружина (б): 1 – обойма; 2 – пружина; 3 – вал

Поднять энергоемкость спиральных пружин можно еще, придав им желобчатый профиль. Наворачиваясь на вал, такая пружина претерпевает деформацию изгиба как в продольном, так и поперечном направлениях и накапливает максимальную энергию. S-образные пружины с желобчатым профилем обладают и другими достоинствами, например почти постоянным крутящим моментом.

Рис. 72. Гидроаккумулятор с пружинным двигателем: 1 – пружина; 2 – поршень; 3 – гидромотор

Для машин с гидравлической системой лучше всего подойдет гидроаккумулятор с пружинным двигателем (рис. 72). В нем накопление и выделение энергии производятся при закачке или выпуске масла. Здесь пружина уже не ленточная, а проволочная. Эффективность проволоки можно значительно повысить, удалив осевые участки, которые при ее кручении не участвуют в процессе накопления энергии. Конечно, изготовление вместо пружинной проволоки трубки с высокими прочностными свойствами куда сложнее и труднее, но при необходимости приходится идти и на это. Однако, несмотря на все меры по увеличению энергоемкости пружинных двигателей, они по этому показателю сильно отстают от аккумуляторов других видов. Например, энергоемкость маховиков превышает энергоемкость любых пружин при той же прочности материала в десятки тысяч раз! Каковы же пути повышения энергоемкости «упругих» аккумуляторов? Накопленная в аккумуляторе механическая энергия тем выше, чем значительнее сила и перемещение под действием этой силы. Следовательно, в качестве аккумулирующего элемента целесообразно использовать материалы, допускающие большие деформации под действием больших сил. И здесь, пожалуй, не найдешь ничего лучшего, чем газ. При его сжатии запасается огромная энергия, соизмеримая с энергией перспективных электроаккумуляторов и маховиков. К сожалению, и недостатки «газовых» аккумуляторов (рис. 73) весьма существенны.

Рис. 73. Газовый аккумулятор (пневмоаккумулятор): 1 – баллон; 2 – пневмодвигатель; 3 – клапан

Прежде всего, закачивать газ в баллон надо компрессором, а отбирать энергию – пневмодвигателем. А КПД этих агрегатов довольно невысок: хорошо, если удастся использовать хоть четверть затраченной энергии. И еще: газ при сжатии нагревается, а при расширении охлаждается. Поэтому только что закачанный газ в баллоне очень горяч, но со временем он охлаждается, принимает температуру окружающей среды, и это выделяющееся тепло уносит с собой до 40 % накопленной энергии – от запасов газового аккумулятора остаются лишь жалкие крохи.

Однако есть способ повышения КПД газовых аккумуляторов – это их симбиоз с гидроприводом (рис. 74). Выше был упомянут пружинно-гидравлический аккумулятор, где энергию аккумулирует пружина, а гидросистема выполняет лишь роль трансмиссии. При этом КПД аккумулятора (называемого гидрогазовым) сильно возрастает. Во-первых, газ расширяется в гораздо меньшей степени, чем в чисто газовых аккумуляторах, и при этом происходит гораздо меньшее тепловыделение. Во-вторых, гидросистема, которая в данном случае является гидрообьемной, или статической, обладает весьма высоким КПД. Поэтому гидрогазовые аккумуляторы находят широкое применение для аккумулирования значительных количеств энергии в самых различных машинах: прессах, стартерных устройствах, самолетах.

Рис. 74. Гидрогазовый (гидропневматический) аккумулятор: 1 – газовая полость; 2 – жидкость; 3 – эластичная перегородка; 4 – обратимая гидромашина; 5 – бак

Для повышения удельной энергии гидрогазовых аккумуляторов баллон, в который закачан газ, выполняется из возможно более прочных материалов, имеющих к тому же низкую плотность. Такими материалами могут быть стеклянное или графитовое волокно на эпоксидной связке, а также целый ряд недавно разработанных сверхпрочных материалов. Баллон лучше всего изготовить в виде сферы (она имеет наименьшую площадь при наибольшем объеме), внутренняя поверхность которой соответствующим образом герметизирована. Для закачки в баллон используются газы, технически инертные, – обычно азот, реже гелий. Газовая и жидкостная среды в таком аккумуляторе чаще всего разделяются. В старых конструкциях цилиндрических баллонов это делалось с помощью свободного поршня, а в более прогрессивных, в том числе и сферических, – с помощью эластичной перегородки. Давление газа в таких аккумуляторах обычно бывает 15-40 МПа.

Гигантские газовые аккумуляторы могут применяться в качестве аккумулирующих устройств для электростанций. Энергия будет запасаться в аккумуляторе путем сжимания газа (разумнее всего – воздуха) в ночное время, когда расход электроэнергии мал. В часы пик при потребности в максимальной мощности электростанции газ будет подаваться на мощные турбины или другие пневмодвигатели, добавляя накопленную энергию к энергии электростанции. Согласно существующим проектам газ предполагается закачивать в огромные полости под землей (например, выработанные шахты).

Но вернемся к твердым веществам. Неужели нет таких веществ, которые, имея достаточную прочность (например, как у металлов), имеют при этом высокую упругую деформацию? Тогда пружина из таких материалов накопила бы побольше энергии.

Оказывается, есть такие материалы и называются они псевдоупругими. Псевдоупругость – это способность материала (металла) растягиваться до разрыва не на 1 – 2 %, как стальная проволока, например, а на 15-20 %. Причем если обычная сталь при деформациях «устает» и выдерживает не так уж много циклов (вспомним, как часто ломаются пружины!), то псевдоупругий материал, у которого принцип деформации иной, выдерживает циклы нагружения практически без «усталости».

Псевдоупругие материалы – почти те же, которые обладают эффектом памяти формы, о них много писалось и пишется. В основном это сплавы титана и никеля; если им задать некую форму в нагретом состоянии, а потом, охладив, изменить эту форму (например, согнуть проволоку как угодно), то при нагревании сплав снова примет прежнюю форму, как бы «вспоминая» ее. Такие сплавы применяют сейчас во множестве случаев, начиная с тепловых машин, которые работают без пара и бензина при минимальной разности температур, и кончая зондами, которые вводятся в артерии и даже сердце человека. Нагреваясь в его теле, сплав «вспоминает» свою прежнюю форму и, к примеру, расширяет артерию.

Но речь идет о свойстве псевдоупругости у таких материалов. Проволоку из такого сплава можно деформировать – изгибать, растягивать в 10 раз больше, чем самую прочную и упругую сталь. Стало быть, и энергии пружина из такого материала накопит в 10 раз больше. Вот какой скачок в накоплении энергии! Часы с такой пружиной, например, будут идти в 10 раз дольше, чем обычные заводные, но использовать такие часы можно будет пока разве только в сауне. Потому что «упругую» силу такой материал приобретает при 150-200 °C. Автор не сомневается, что скоро будут созданы материалы, которые будут «сильны» и при комнатной температуре. Пока же они ведут себя при таких температурах вяло, удлиняясь и укорачиваясь медленно, как будто сделаны они из смолы, только очень прочной.

Но автор придумал применение таким материалам и сегодня, причем применение очень эффектное – для спорта. Если сделать тросик для метания молота не из стали, а из такого материала, по прочности близкого к ней, то при вращении молота псевдоупругий тросик будет растягиваться в 20 раз сильнее, чем стальной. А это, как хорошо понимают спортсмены – метатели молота, обеспечит значительное, почти на 20 %, повышение дальности полета снаряда. Материал тросика в правилах не регламентирован, так что и нарушений не будет!

Помог же шест из стеклопластика вместо бамбукового поднять рекорды прыжков, вот и тросик из псевдоупругого материала поднимет рекорды метателей. Спортсмены, не медлите, рекорды ждут вас!

Остается еще один материал, который имеет огромную упругую деформацию, правда не такой уж прочный. Это знакомая всем нам резина. Лучше всего она работает на растяжение, накапливая при этом удельной энергии в десятки раз больше, чем стальные пружины. Однако для машин необходимо, чтобы, как и в заводных пружинах, вал накопителя закручивался бы.

С учетом этого автором сконструирована упругая муфта-аккумулятор (рис. 75). Резиновые жгуты, закрепленные концами на ведущей и ведомой полумуфтах, опираются на легкие, свободно сидящие на оси промежуточные поддерживающие диски (изготовленные, например, из пластмассы) и при относительном повороте полумуфт принимают положение винтовой линии. Поскольку крепление жгутов к полумуфтам шарнирное, резина практически подвергается только растяжению. По энергоемкости эта муфта соизмерима даже с маховиками.

Но почему же резиновые элементы, обладая столь ценными качествами, используются как накопители энергии не так уж широко?

Рис. 75. Резиновая муфта – аккумулятор энергии: 1 – ведущий вал; 2 – ведомая полумуфта; 3 – резиновые жгуты; 4 – поддерживающие промежуточные диски

Если деформировать, например, растягивать, резиновый упругий элемент и записывать зависимость силы от перемещения его конца, то кривая растяжения резины при накоплении в ней энергии будет отличаться от кривой ее сокращения при выделении энергии. Эти две кривые образуют так называемую гистерезисную петлю, характеризующую потери энергии на упругий гистерезис (рис. 76). И чем больше растягивать резину, т. е. накапливать в ней энергию, тем выше потери на упругий гистерезис. Кроме того, чем дольше сохраняется энергия в растянутой резине, тем больше петля гистерезиса и тем меньше энергии будет возвращено обратно; гистерезисные потери постепенно разрушают резину, и свойства ее меняются. Все это (мы уже не говорим о других недостатках) ограничивает применение резиновых упругих элементов для аккумулирования энергии в точных, долговечных и надежных приборах и машинах. Широко применяются резиновые аккумуляторы энергии в моделях в качестве резиномоторов.

Рис. 76. График растяжения резинового жгута

И о том, что резина значительно пригоднее для накопления энергии, чем пружина, говорит тот факт, что с резиномоторами летает множество моделей самолетов и вертолетов, а с пружиной еще ни одна модель не поднялась в воздух!

Как помочь «Формуле-1»?

И, собственно, не только «Формуле-1», а любому автомобилю – стать более динамичным. Просто на «Формуле-1» это выглядело бы поэффектнеее.

Если маховик – такой емкий накопитель энергии, то почему бы от него не приводить транспортные средства, как от двигателя? Раскрутить маховик электромотором – и поехали!

Да, есть такие транспортные машины, например тележки для внутризаводских перевозок (рис. 77). Ходят они вперед и назад, могут и остановиться. Только не могут самостоятельно изменять скорость, она сама меняется – все убывает по мере снижения запаса энергии в маховике.

Рис. 77. Маховичная грузовая тележка:

1 – редуктор; 2 – рукоять хода и реверса; 3 – рукоять сцепления; 4 – маховик; 5 – электродвигатель; 6 – платформа; 7 – шасси

Рис. 78. Швейцарский маховичный автобус – гиробус (а) и его маховик (б)

Для автомобиля такое поведение неприемлемо. Он должен изменять свою скорость, как того захочет водитель. Для этого между маховиком и колесами машины должна быть бесступенчатая трансмиссия. Ступенчатая коробка передач тут не подходит, каждое переключение передачи тут будет сопровождаться ударом и продолжительным буксованием сцепления – никакой энергии маховика не хватит. Поэтому в первом же маховичном автобусе – гиробусе, построенном еще в 1950-х гг. в Швейцарии (рис. 78, а), была применена бесступенчатая электрическая трансмиссия. Ходил гиробус в Швейцарии, Бельгии, даже в Африке, проходил между подзарядками маховика (рис. 78, б) 1,5 км на трассах протяженностью до 10 км. Но несмотря на появление подобных гиробусов вплоть до настоящих времен то в Европе, то в Америке, трудно назвать их перспективными. Как, впрочем, и любой автомобиль, работающий на накопленной энергии, включая всеми хваленные электромобили. Автор берется доказать это в двух словах.

Первое – если все автомобили переделать на электромобили, или махомобили, как гиробус, то для подзарядки их накопителей не хватит энергии электростанций всего мира. При этом ее уже не везде хватает и так, а тут подключатся автомобили, суммарная мощность которых во много раз больше мощности всех электростанций мира. Второе – если подсчитать КПД обычной электростанции с преобразованиями тока и переброской его на нужное расстояние и учетом потерь в зарядном устройстве и аккумуляторе, можно прослезиться. Этот КПД будет значительно меньше тех 40 %, которые может обеспечить дизель в лучшем случае. А тем более тех 60-70 %, которые обеспечивают так называемые топливные элементы или электрохимические генераторы, непосредственно, бесшумно и экологично переводящие энергию топлива в электроэнергию.

Так что же, вообще никакой накопитель на автомобиле не нужен? Да нет, нужен, только для несколько иной цели. Дело в том, что двигатель почти никогда не работает на автомобиле с максимальным КПД. Для этого он должен работать почти на максимальной мощности, т. е., чтобы было понятнее для водителей, педаль акселератора должна быть уперта в пол (рис. 79). Такое бывает либо на предельной скорости (обычно не менее 150-160 км/ч для современных машин) либо при маневрах – обгонах. В городе, например, средняя мощность двигателя менее одной десятой от установочной. КПД при этом – 5 – 7%, что видно по расходу топлива. А ехать, например, со скоростью 160 км/ч и неэкономично – все топливо уходит на взбалтывание воздуха, и опасно – на большинстве трасс такого не допустит ГАИ.

Рис. 79. Зависимость КПД двигателя от загрузки его по мощности

Что же делать, чтобы заставить двигатель всегда работать на оптимальном, самом экономичном режиме? С маховиком это очень даже просто. Двигатель малой мощности постоянно работает на своем оптимальном режиме, отдавая всю энергию, выработанную с максимальным КПД, маховику. Маховик в этом случае выступает как «банк» для энергии (рис. 80). Если этот «банк» переполнился, двигатель автоматически отключается. Движение же автомобиль получает именно от маховика через бесступенчатую коробку передач. Кроме того, что автомобиль использует для движения самую «экономичную» энергию, на спусках и при торможениях избыточная энергия не теряется в тормозах, а переходит обратно в маховик. Этот процесс называется рекуперацией, и он позволяет дополнительно повысить экономичность автомобиля, в результате чего КПД двигателя может оказаться даже выше своего максимума.

Рис. 80. Схема гибридного силового агрегата автомобиля: 1 – двигатель; 2 – бесступенчатая трансмиссия; 3 – маховик

Немного другая ситуация с электромобилем, использующим топливные элементы. Если помните, только такие электромобили не потребляют дефицитной и дорогой энергии из сети, а сами добывают ее из топлива с КПД, превышающим КПД тепловых электростанций. Но у топливных элементов один крупный недостаток – они не дают большой мощности. 60 Вт на 1 кг массы для них тот предел, когда их КПД еще приемлем. Для 60 кВт – средней мощности легкового автомобиля – их нужно 1 т; это столько же, сколько весит сам автомобиль. А ведь еще нужен электродвигатель, который при больших мощностях очень тяжел.

Рис. 81. Схема новой концепции силового агрегата электромобиля:

1 – топливные элементы; 2 – разгонный электродвигатель; 3 – супермаховик; 4 – бесступенчатая передача

Как же может маховик помочь электромобилю? Да почти так же, как и в предыдущем случае. Маленький топливный элемент, массой 15 кг, постоянно разгоняет через маленький, но высокооборотный электродвигатель (10 кВт мощностью, массой 10 кг), маленький маховик (супермаховик массой 10 кг), а оттуда энергия через бесступенчатую передачу передается на колеса (рис. 81). Торможения и спуски прибавляют энергию в маховик, как и раньше. Силовой агрегат получается столь малым, что помещается в стандартный кузов автомобиля, вместо обычного, с двигателем. Разработчик новой концепции электромобиля – автор этих строк.

Вы, наверное, заметили, что во всех перечисленных случаях силовой агрегат с маховиком, называемый гибридным, или комбинированным, требует бесступенчатой передачи. В этом главная трудность и сложность такого агрегата. Разными бывают такие бесступенчатые передачи – электрическими, гидравлическими или механическими. Предпочтительнее, конечно, механические, так как в них не преобразуется форма энергии, они компактны и экономичны.

Но возникает вопрос: неужели обязательна эта бесступенчатая передача, такая сложная и дорогая? Ведь если бы вместо маховика была заводная пружина, какая бывает на игрушечных механических автомобильчиках, никакая бесступенчатая передача не нужна. Заводная пружина имеет так называемую «мягкую» характеристику, не требующую бесступенчатой передачи. Заводная пружина может стронуть с места неподвижный автомобильчик, «гнать» его уже на большой скорости, если надо, на спуске или при торможении автомобильчика «принять его энергию на себя». Пружине все под силу, да одна беда: энергоемкость пружин чрезвычайно мала – в тысячи раз меньше, чем у супермаховиков. Не годится она для далеких пробегов: сотня-другая метров – предел для игрушки. Но…

Еще перед Отечественной войной 1941-1945 гг. было замечено, что артиллерийский взрыватель, содержащий миниатюрную заводную пружину, срабатывает раньше, чем следует. Ученые поняли, что это возникает из-за вращения снаряда, достаточно быстрого и возникающего из-за нарезки в стволе. Если пружину вращать, ее витки стремятся на периферию (все из-за свойства инерции) с огромной силой, пружина как бы увеличивает свою силу в тысячи раз. А ведь это тот же ленточный супермаховик, только у него не все витки скреплены – внутренние начинают играть роль витков пружины (рис. 82). Такие «мягкие», или «пружинные», супермаховики, изобретенные автором этих строк, уже созданы, правда пока в виде опытных образцов, но испытания показали их работоспособность. Таким «мягким» маховиком можно разогнать автомобиль без использования бесступенчатой передачи; можно и рекуперировать (повторно использовать) энергию при торможениях и спусках. Конечно, такой «мягкий» маховик не может полностью заменить гибридный силовой агрегат с супермаховиком и бесступенчатой передачей.

Рис. 82. «Мягкий» супермаховик

Но для гоночного автомобиля, например, такой маховик – подарок. Представьте себе, что даже небольшой такой маховик массой около 10 кг может дать дополнительную мощность в сотни киловатт в течение 10-15 секунд, что помогло бы, например, «Формуле-1» обогнать при маневрах своих соперников. Расчеты показали, что гоночный автомобиль, снабженный таким же двигателем, что и у других машин, но дополненный «мягким» маховиком, будет непобедим.

Помешать тут может только одно – правила соревнований, весьма жесткие. Но про размер и устройство маховика, которым в принципе снабжен каждый двигатель, – тут пока ни слова! Спешите, спортсмены!

Вращается ли «вечный двигатель»?

С вращением почему-то уже со Средних веков связывают возможность создания «вечных двигателей». «Вечный двигатель» – это такой воображаемый механизм, который безостановочно движет сам себя и, кроме того, совершает еще какую-нибудь полезную работу (например, поднимает груз, качает воду и т. д.). Такого построить пока еще не мог никто, хотя попытки делались уже с древних времен. Бесплодность этих попыток привела людей к твердому убеждению, что «вечный двигатель» невозможен, и к установлению известного всем закона сохранения энергии – фундаментального утверждения современной науки.

На рис. 83 представлен один из старейших проектов «вечного двигателя» вращательного действия, и по сей день изобретаемого фанатиками (или, как сейчас говорят, фанатами) этой идеи. К периферии колеса прикреплены откидные стерженьки с грузами на концах. При всяком положении колеса грузы на правой его стороне будут откинуты дальше от центра, чем на левой, и эта половина должна всегда перетягивать левую, заставляя колесо вращаться вечно. Между тем если изготовить такой двигатель, то он вращаться не будет. В чем же ошибка изобретателя?

Рис. 83. Средневековый «вечный двигатель» со стержнями

Хотя грузы на правой стороне всегда откинуты дальше от центра, но число этих грузов меньше, чем на левой. Например, справа 4 груза, слева же – 8. Вся система уравновешивается, колесо вращаться не станет, а, сделав несколько качаний взад-вперед, остановится.

Уже в позапрошлом веке доказано, что нельзя построить вечный самодвижущийся механизм, выполняющий еще при этом работу. Трудиться над такой задачей – безнадежное дело. В Средние века люди много времени и труда потратили на изобретение «вечного двигателя» (по латыни – perpetuum mobile), но все зря.

Наш великий механик И. П. Кулибин, создавший много изобретений, и в частности первый маховичный экипаж – «самобеглую коляску», потратил много времени и сил на постройку «вечных двигателей». Если уж такой великий человек, прекрасно разбиравшийся в механике, занимался этим делом, то что было делать менее грамотным?

Придумано множество «вечных двигателей», но, естественно, они не работали. В каждом случае изобретатели упускали из виду какое-нибудь обстоятельство, которое смешивало все задуманное.

Вот еще один образец нереального вечного двигателя: колесо с перекатывающимися в нем тяжелыми шарами (рис. 84). Изобретатель полагал, что шары, находящиеся на одной стороне колеса, ближе к краю, заставят своим весом вертеться колесо. Разумеется, этого не произойдет – по той же причине, что и в предыдущем случае.

Рис. 84. «Вечный двигатель» с тяжелыми шарами

Очень часто вращение маховиков, особенно помещенных в вакуум и подвешенных на магнитных подшипниках, вращающихся многие сутки, вызывает аналогию с «вечным двигателем». Но ведь при этом такой маховик полезной работы не совершает, он просто крутится, медленно расходуя запасенную энергию.

Кстати, при наблюдении за вращающимся маховиком возникает ощущение, что у него уменьшается вес. Взвешивание таких вращающихся маховиков-дисков давало тот же результат – вращающийся диск весил меньше неподвижного. Виновата здесь аэродинамика – вращающийся диск отгоняет воздух, создавая у обоих торцов разрежение. Снизу это разрежение притягивает чашу весов, прижимая ее к острию диска, а вверх разрежение втягивает диск свободно (см. схему на рис. 85). Вот вам и причина «антигравитации», о которой так много писали и говорили.

Рис. 85. Почему вращающийся маховик весит меньше неподвижного: 1 – маховик; 2 – чаша весов

Надо сказать, что создает эффект «антигравитации» и маховик, вращающийся даже в вакууме. Это смущало людей даже с учеными степенями. Здесь уже гораздо более «тонкое» явление. Дело в том, что из-за трения в призмах (опорах) весов вибрирующее тело будет всегда казаться легче такого же неподвижного. А вращающийся маховик всегда хоть сколько-нибудь вибрирует из-за неуравновешенности.

Но вернемся к «вечным двигателям». Один из самых удачливых создателей «вечных двигателей», живший до конца своих дней на доходы, полученные за демонстрацию своей машины, – немец Беслер, выступавший под псевдонимом Орфиреус (1680-1745). Вот как рассказывал об этом изобретении известный популяризатор науки Я. И. Перельман.

На прилагаемом рисунке (рис. 86), заимствованном из старинной книги, изображена машина Орфиреуса, какой она была в 1714 г. Вы видите большое колесо, которое будто бы не только вращалось само собой, но и поднимало при этом тяжелый груз на значительную высоту.

Рис. 86. «Самодвижущееся колесо» Орфиреуса, которое чуть не купил Петр I (старинный рисунок)

Слава о чудесном изобретении, которое ученый доктор показывал сначала на ярмарках, быстро разнеслась по Германии, Орфиреус вскоре приобрел могущественных покровителей. Им заинтересовался польский король, затем ландграф Гессен-Кассельский. Последний предоставил изобретателю свой замок и всячески испытывал машину.

Так, в 1717 г., 12 ноября, двигатель, находившийся в уединенной комнате, был приведен в действие; затем комната была заперта на замок, опечатана и оставлена под бдительным караулом двух гренадеров. 14 дней никто не смел даже приближаться к комнате, где вращалось таинственное колесо. Лишь 26 ноября печати были сняты и ландграф со свитой вошел в помещение. И что же? Колесо все еще вращалось «с неослабевающей быстротой». Машину остановили, тщательно осмотрели, затем опять пустили в ход. В течение 40 дней помещение снова оставалось запечатанным; 40 суток караулили у дверей гренадеры. И когда 4 января 1718 г. печати были сняты, экспертная комиссия нашла колесо в движении!

Ландграф и этим не удовольствовался: сделан был третий опыт – двигатель запечатан был на целых 2 месяца. И все-таки по истечении срока его нашли движущимся!

Изобретатель получил от восхищенного ландграфа официальное удостоверение в том, что его «вечный двигатель» делает 50 оборотов в минуту, способен поднять 16 кг на высоту 1,5 м, а также может приводить в действие кузнечный мех и точильный станок. С этим удостоверением Орфиреус и странствовал по Европе. Вероятно, он получал порядочный доход, если соглашался уступить свою машину Петру I не менее чем за 100 тысяч рублей.

Весть о столь изумительном изобретении доктора Орфиреуса быстро разнеслась по Европе, проникнув далеко за пределы Германии. Дошла она и до Петра, сильно заинтересовав падкого до всяких «хитрых махин» царя.

Петр обратил внимание на колесо Орфиреуса еще в 1715 г., во время своего пребывания за границей, и тогда же поручил А. И. Ос-терману, известному дипломату, познакомиться с этим изобретением поближе; последний вскоре прислал подробный доклад о двигателе, хотя самой машины ему не удалось видеть. Петр собирался даже пригласить Орфиреуса, как выдающегося изобретателя, к себе на службу и поручил запросить о нем мнение Христиана Вольфа, известного философа того времени (учителя Ломоносова).

Знаменитый изобретатель отовсюду получал лестные предложения. Великие мира сего осыпали его высокими милостями; поэты слагали оды и гимны в честь его чудесного колеса. Но были и недоброжелатели, подозревавшие здесь искусный обман. Находились смельчаки, которые открыто обвиняли Орфиреуса в плутовстве; предлагалась премия в 1 тысячу марок тому, кто разоблачит обман. В одном из памфлетов, написанных с обличительной целью, мы находим рисунок, воспроизведенный здесь. Тайна «вечного двигателя», по мнению разоблачителя, кроется просто в том, что искусно спрятанный человек тянет за веревку, намотанную незаметно для наблюдателей на часть оси колеса, скрытую в стойке (рис. 87).

Рис. 87. Разоблачение секрета колеса Орфиреуса (старинный рисунок)

Тонкое плутовство было раскрыто случайно только потому, что «ученый доктор» поссорился со своей женой и служанкой, посвященными в его тайну. Не случись этого, мы, вероятно, до сих пор оставались бы в недоумении относительно «вечного двигателя», наделавшего столько шума. Оказывается, «вечный двигатель» действительно приводился в движение спрятанными людьми, незаметно дергавшими за тонкий шнурок. Этими людьми были брат изобретателя и его служанка.

Но настоящие ученые даже тех времен были резко против «вечных двигателей». Посланец Петра I Шумахер, которому император поручил изучить вопрос о «вечных двигателях», писал в Петербург, что французские и английские ученые «ни во что почитают все оные перепетуи мобилес и сказывают, что оное против принципиев математических».

Перпетуум-мобиле с человеческим лицом

Непонятно, для чего люди тратили столько сил на поиски «вечного двигателя», когда вокруг – неисчерпаемое море энергии. Неужели не проще поставить ветряк и с его помощью получать даровую энергию ветра, чем тратить жизнь на создание сложнейших и, главное, неработоспособных «вечных двигателей»? В то время, когда Кулибин бесполезно тратил свою жизнь и талант на вечные двигатели, мельники мололи зерно на абсолютно даровой и бесплатной энергии ветра и текущей воды.

Но раз уж мы заговорили о «чудесных» механизмах, то продолжим эту тему. Мы уже знаем, что тело не может привести себя в движение внутренними силами. А может ли оно привести себя этими же внутренними силами во вращение? По законам механики вопрос предполагает резко отрицательный ответ. Но давайте сделаем простейший эксперимент, вроде бы доказывающий обратное. Для этого нам потребуется прибор, называемый платформой, или скамьей, Жуковского (см. рис. 53). Такие обычно имеются в школах в физических кабинетах, но его несложно сделать и самому, хотя бы из двух деревянных дисков, металлической оси и двух подшипников. Продаваемые в магазинах диски «Грация» тут непригодны из-за большого сопротивления вращению.

Итак, опыт первый. Станем на скамью Жуковского и попытаемся раскрутиться. Если сопротивления в подшипниках очень малы (а именно такой прибор нам и нужен!), у нас ничего не выйдет. Мы заводим руки вправо, сами двигаемся влево. Возвращаем руки на прежнее место, и туловище занимает прежнее положение. Казалось бы, все в рамках законов механики.

Но попробуйте сделать такой опыт. Отведите правую руку в сторону, лучше с какой-нибудь тяжестью – гантелью, утюгом и т. д., и резко поведите ею налево. Туловище повернется слева направо. Затем осторожно поднимите эту же руку вверх, и, проведя ее через верх в плоскости оси вращения, опустите в противоположную сторону. Затем повторите первое движение опять. Продолжая выполнять эти, казалось бы, нелепые упражнения, мы неуклонно поворачиваем себя своими же внутренними силами в одном и том же направлении, явно нарушая законы механики.

И второй опыт, поистине с первого взгляда шокирующий. Поставьте скамью Жуковского чуть наклонно, подложив, например, под нее с одной стороны книгу, дощечку и тому подобный предмет. Наклон диска должен быть что-то около 5°. Затем станьте на этот диск, и вы почувствуете… что начинаете раскручиваться! Сами, без какой-либо посторонней помощи или телодвижений. Обычно удержаться на таком диске более минуты бывает невозможно, и человек в самых нелепых позах слетает на пол.

Когда автор впервые изготовил себе скамью Жуковского и поставил ее в прихожей, где пол был неровный, он испытал на себе это «самораскручивание». Будучи профессором механики и не веря в чудеса, автор почти целую ночь вскакивал на диск, который, конечно же, раскручивал его и непременно сбрасывал на пол. К утру автор сделал две важные вещи: во-первых, научился удерживаться на изобретенном «самораскручивателе», а во-вторых, понял, почему это все происходит.

«Самораскручиватель» производил такое ошеломляющее впечатление на «экспериментаторов», что его показали по телевидению, где автор на улице предлагал прохожим стать на диск и удержаться. Ни один из прохожих не смог этого сделать, и автор в шутку назвал этот прибор «вечным двигателем».

Телевидение – страшная сила, смотрят ведь миллионы. Скоро автор был засыпан письмами, на которые при всем желании не смог бы ответить. Все просили продать им «вечный двигатель». Кто для чего – освещения квартиры, сбивания масла, других бытовых нужд. Надо сказать правду: несколько дисков автор все-таки продал. Но не в качестве «вечного двигателя», а в качестве аттракциона. Причем купили его предприниматели из США и других зарубежных стран.

На следующей передаче (была такая научно-познавательная телепрограмма «Это вы можете») автор уже подробно рассказал об устройстве этого «вечного двигателя» и о принципе его действия. Вот он.

Дело в том, что, стоя наклонно, человек инстинктивно пытается выпрямиться, стать вертикально. При этом давление подошв человека на диск смещается на верхнюю его половину (не забывайте, что диск стоит наклонно!), и он, конечно же, проворачивается. Диск этот, как наклонные весы, если «чувствует» перегруз одной «чаши» (половины диска), то тотчас опускает ее и поднимает пустую чашу. Человек автоматически пытается снова выпрямиться и снова давит на верхнюю половину. И так до того момента, пока диск не сбросит его на пол из-за быстрого вращения. Разумеется, гиря или статуя человека, поставленная на диск, так и будет стоять на нем неподвижно. Вот так, стоя как статуя, и научился автор удерживаться на диске под утро…

Таков принцип действия «вечного двигателя» «с человеческим лицом». Теперь о первом опыте. Автор его специально усложнил, делая рукой замысловатые движения, чтобы труднее было догадаться. Можно вращаться и так: крутить над головой руку с грузом. Туловище при этом будет вращаться в другую сторону согласно всем законам механики. Смущает здесь всех именно «человеческое лицо». Поворачивается «человеческое лицо» – значит, есть вращение, и создается впечатление, будто человек поворачивается без приложения внешних сил. Ведь рука с грузом «лица» не имеет, вот мы и не считаем ее движение вращением, а зря… Самое обычное вращение вокруг оси. Кстати, кошки в падении именно так и сохраняют свое равновесие, падая на лапы. В начале падения даже спиной вниз кошка автоматически оценивает, куда ей ближе и удобнее повернуться, а затем начинает быстро вращать оттопыренным хвостом в противоположную сторону. Туловище, разумеется, поворачивается в другую… Вот так это симпатичное животное использует законы механики.

Но представим себе, что мы все-таки хотим получать энергию от человека. Не вращаясь на диске, конечно, а к примеру, вращая педали, связанные с генератором. Кстати, такие предложения приходится часто читать даже в серьезной литературе. Средний человек, судя по калорийности поедаемой им пищи и выпиваемых напитков (кстати, даже водка очень калорийна!), мог бы слегка отапливать квартиру. Но не освещать, ибо для этого потребуется мощность в 150-300 Вт. А такую мощность в течение всего дня – 6 – 8 часов и не любая лошадь «потянет».

Ведь для определения эталона мощности одна из самых сильных лошадей была загнана насмерть при развитии мощности в 1 лошадиную силу (736 Вт) в течение нескольких часов.

Теперь поговорим о человеке. Что такое 150 Вт применительно к человеку? Это пудовая гиря, поднимаемая с земли на вытянутую руку (рывок) каждые 2 секунды непрерывно; центр масс гири поднимается при этом примерно на 2 м. Автор сам человек неслабый, штангист, регулярно тренируется, но после 3 минут такой работы аж взмок от нагрузки. Попробуйте то же самое, замерьте время, в течение которого вы осиливаете это упражнение, а затем поделите 6 – 8 часов на полученное время, выраженное в часах. Уверен, что у вас получится двух-, а то и трехзначная цифра. Вот во сколько раз преувеличены возможности человека.

Меньшие мощности человек переносит легче. Измерять их лучше всего на велотренажере, где на современных устройствах мощность высвечивается прямо на табло, а на старых упрощенных моделях приборы (динамометр и спидометр) показывают силу и скорость, приведенные к ободу колеса тренажера. Выразите силу в ньютонах, а скорость в метрах в секунду, и, перемножив силу на скорость, получите мощность в ваттах.

Как же быть со средней мощностью на протяжении, например, 7 часов? Сядьте на велотренажер и постарайтесь в течение какого-то промежутка времени развивать постоянную мощность. Это можно реально сделать, поставив динамометр на постоянную нагрузку и соблюдая постоянную скорость вращения педалей, с помощью спидометра. Затем умножьте полученную мощность на время вашей работы и получите работу в джоулях. На современных дорогих тренажерах эта цифра получается автоматически даже при переменной нагрузке. Работая и отдыхая в течение 7 часов, вы, сложив полученную сумму работ, определяете работу, выполненную вами за 7 часов, т. е. за 25 200 секунд. Поделите работу в джоулях на время в секундах и получите мощность в ваттах. Не огорчайтесь, если получится очень малая средняя мощность, это так и есть. Если вы, конечно, не олимпийский чемпион по велоспорту.

Кстати, о чемпионах. Очень сильные люди (например, штангисты) при рывке штанги, могут развивать и 1,5 – 2 кВт, но очень кратковременно – 2 – 3 секунды, не более. А средняя мощность обычного человека за 6 – 8 часов, увы, очень близка к мощности карманного фонарика и равна всего нескольким ваттам. Медленно едущий велосипедист развивает 20 Вт, но попробуйте непрерывно проехать 7 часов!

Между тем в справочниках по физике приходится читать, что средняя мощность человека – именно 150-300 Вт. Так имейте в виду, что это мощность не механическая, а большей частью тепловая. Допустим, хозяйка подметает комнату: около 20 Вт она тратит на механическую работу, а остальное – на отопление комнаты!

Так что рассчитывать на какие-нибудь солидные мощности человека, например, для передвижения крупных мускульных автомобилей, мускулолетов и т. д. не приходится!

Можно ли сдвинуть земную ось?

Вернемся снова к нашей Земле. Мы уже знаем о том, что ось Земли наклонена к плоскости ее обращения вокруг Солнца, знаем, что она прецессирует, знаем, как определить направление прецессии и гироскопического момента. А с такими знаниями мы можем попробовать получить энергию даже от вращения Земли. Луна все равно тормозит Землю, и всю энергию ее вращения тратит на приливы и отливы океанов. Так попробуем «отобрать» от этой энергии хоть часть.

Представим себе на полюсе Земли огромный маховик, вращающийся в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения Земли. Если бы маховик просто пассивно сопротивлялся любому изменению положения оси в пространстве, то плоскость его вращения оставалась бы неподвижной, а вокруг него вращалась бы Земля. Это относительное вращение могло быть уловлено генераторами, и мы получили бы даровую электроэнергию.

Этот проект, конечно, легко разоблачить. Мы уже знаем, что вращающийся маховик не просто пассивно сопротивляется повороту его оси, а прецессирует. А эта прецессия очень скоро совместит ось вращения маховика с осью вращения Земли, и тогда отбор энергии закончится.

Рис. 88. Проект использования энергии вращения Земли: маховик на пружине

Вот другой проект, который не так просто разоблачить. Маховик сидит в рамке на пружине кручения и, колеблясь, крутится то в одном, то в другом направлении (рис. 88). Для простоты потерями в пружине и аэродинамическим потерями пренебрежем. Итак, при вращении маховика в одном направлении он будет прецессировать в одну сторону, при перемене вращения – в другую. Эта прецессия будет происходить под действием вращения Земли. Стало быть, энергию можно «снимать» от относительного вращения постоянно, так как ось вращения маховика никогда не совместится с осью вращения Земли?

Этого, оказывается, сделать нельзя, так как при деформации пружины ось вращения маховика изменится и появится момент, компенсирующий момент торможения Земли.

Рис. 89. Опыты с переворачиванием гигантского маховика

Или совсем уже простой опыт. Представим себе, что на полюсе Земли находится огромный маховик, вращающийся с той же угловой скоростью, что и сама Земля, т. е. неподвижный относительно нее. А затем перевернем маховик на 180° каким-нибудь мощным механизмом за ось в подшипниках и приблизим его снова к Земле (рис. 89). При этом маховик будет вращаться уже в другую сторону и относительная скорость его вращения будет 2 оборота в сутки. И эту скорость можно легко «снять» с маховика, затратив ее на работу. Маховик снова остановится, его скорость сравняется со скоростью Земли, потом мы его снова повернем и т. д. Значит, можно постепенно остановить Землю, используя ее кинетическую энергию? Неужели инерция вращения Земли «уничтожится» без всякого воздействия извне, внутренними средствами?

Естественно, нет. Объяснение этого парадокса заключается в том, что, переворачивая маховик, мы вызываем гироскопический момент, разгоняющий Землю ровно настолько, насколько она затормозится при соприкосновении с маховиком. Так что скорость вращения Земли при переворачивании маховика никак не изменится, хотя энергия на его переворачивание будет затрачена, но полностью перейдет в тепло при соприкосновении маховика с Землей.

Теперь ясно, что энергии от вращения Земли «внутренними» средствами не получишь. Так можно ли вообще внутренними возможностями ускорить или замедлить вращение Земли?

Надо сказать, что это вопрос скорее философского плана, чем механического. Судя по предыдущему, мы можем раскрутить свое туловище в одну сторону, вращая рукой в другую. Если руку не считать своей принадлежностью, то можно сказать, что мы можем себя раскрутить своими внутренними усилиями.

Так и с Землей. Любой наш шаг, любой автомобиль, движущийся по поверхности Земли, увеличивает или уменьшает скорость ее вращения, но очень ненамного. А можно ли намного?

Можно. Если, например, создать океанское течение наподобие Гольфстрима, но вдоль экватора (где это возможно, например, в Тихом океане), причем обязательно проходящее в одном направлении то ли по вращению Земли, то ли против. Такое можно представить пока только в Тихом океане, затем это течение должно перейти в Индийский океан, что достаточно просто сделать через проливы в островах Океании, потом нужно будет либо обогнуть Африку с юга, либо сильно расширить Суэцкий канал, Гибралтар и Баб-эль-Мандебский пролив, затем лучше всего пустить течение через Панамский канал, расширив его на всю Центральную Америку. Что ж, великая цель – великие затраты!

Зато, пустив течение против вращения Земли, мы противодействием, так называемым «реактивным» моментом (тем самым, которым мощная дрель скручивает нам руки!), раскрутим Землю быстрее. Мы можем приблизиться к тем 9-часовым суткам, которые были при зарождении жизни на Земле.

С меньшими энергетическими затратами мы можем пустить течение по вращению Земли, т. е. с запада на восток, и замедлить вращение планеты. Можем в принципе сделать день, равный году, и тогда суша Земли будет обращена к Солнцу одной стороной со всеми вытекающими отсюда последствиями как для этой стороны, так и для другой, которая останется в тени.

Но если мы озабочены экологией и не хотим создавать новых океанических течений, то проще всего на Антарктиде (там хоть есть суша) установить, лучше под землей с выкаченным из этого подземелья воздухом, громадный маховик из какого-нибудь сверхпрочного материала на громадных магнитных подшипниках (рис. 90). Технически, конечно, это все можно сделать, но каковы будут затраты? А потом надо будет этот маховик раскрутить в ту или другую сторону для разгона или торможения Земли. В этом случае и суша, и вода будут двигаться вместе.

Рис. 90. Супермаховик в недрах Антарктиды

И наконец, сакраментальный вопрос о сдвиге оси Земли, то, что хотели сделать герои Жюля Верна выстрелом из сверхпушки. Что ж, и это можно устроить, с помощью тех же океанических течений, только в меридиональном направлении, например, довести Гольфстрим до противоположной стороны и через Тихий океан, в обход Антарктиды, замкнуть его в Мексиканском заливе. Но это плохо для России – тогда Северный полюс начнет «наступать» на нашу территорию и окончательно заморозит ее.

Можно пустить это течение по тому же пути, но в другую сторону, тогда Северный полюс будет продвигаться в район Канады и далее – на США. И если мы хоть привычны к холоду, то что будут делать теплолюбивые жители Америки?

Можно «выпрямить» ось Земли и исключить смену времен года. На экваторе будет всегда лето, на полюсах – зима, а между ними смесь осени и весны. Скучновато получается!

Рис. 91. Маховик для поворота оси Земли (схема)

Все вышесказанное можно получить и с помощью того же подземного маховика, только установленного лучше всего на экваторе (рис. 91). В Африке, например, или в джунглях Южной Америки – места хватит! Можно и у нас в Сибири – простору там еще больше, но эффект будет примерно в 1,5 раза слабее. Широты не те!

Естественно, все это – манипуляции с ориентацией Земли и ее угловой скоростью, основанные на наших принципиальных внутренних возможностях. Природа осуществляет все это своими «внешними» силами и без нашего желания.

Одно можно сказать в утешение тем, кто возмущен этими манипуляциями с Землей. Если даже мы, земляне, будем в состоянии построить эти гигантские маховики, то мы не найдем тех колоссальных энергетических ресурсов, которые могли бы раскрутить эти маховики. Если, конечно, не усилим свою энергетику в сотни и тысячи раз!

15.2.1 При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси силы давления на опоры (подшипники, подпятник) переменны по величине, носят циклический характер и могут значительно превышать силы давления, которые испытывают опоры при отсутствии вращения. При вращении тела не исключена также опасность резонанса.

Например, пусть центр тяжести вала массой 10кг, вращающегося с постоянной частотой 10 000об/мин, смещен от его оси на расстояние e =1мм. Действующая на него центробежная (нормальная) сила инерции равна

Что более чем в 200 раз превышает давление в опорах от веса вала.

При ускоренном или замедленном вращения вала на опоры действуют также циклические давления от касательных составляющих сил инерции, которые также могут достигать значительных величин и стать причиной резонанса и разрушения опор.

15.2.2Для определения реакций в опорах вращающегося тела воспользуемся принципом Даламбера.

Пусть к телу массы М приложены активные силы . Освободим тело от связей, заменив их реакциями и . Добавим к этим силам главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции . Тело находится в равновесии под действием произвольной пространственной системы сил. Составим шесть уравнений равновесия:

;

;

.

Используя теорему о движении центра масс и раскладывая силы инерции, действующие на точки, на нормальные и касательные составляющие можно преобразовать эту систему уравнений равновесия [?] в следующую:

.

Если тело не вращается вокруг оси Z, , то получим уравнения статики:

;

;

;

из которых можно определить статические реакции опор .

Статическим реакциями называются части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы . Уравнения для их определения получают, положив в выражениях для полных реакций .

Динамическими реакциями называют части полных реакций, которые уравновешивают силы инерции точек тела вращения. Уравнения для их определения получают, вычтя из выражений для полных реакций статические реакции. Динамические реакции зависят от ε и ω.

Статически уравновешенным называют тело, имеющее ось вращения, если центр масс этого тела лежит на оси вращения. В этом случае главный вектор сил инерции равен нулю, то есть , а главный момент сил инерции не равен нулю, то есть . Динамические реакции образуют в опорах циклически изменяющуюся пару сил. Опоры испытывают вибрации, которые могут привести к их усталости и разрушению, особенно в тех случаях, когда циклическая частота мест крепления близка к угловой скорости вращения тела.

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Простейшим движением твердого тела является вращение вокруг фиксированной оси: тело насажено на ось, положение которой в пространстве фиксируется подшипниками. Положение тела определяется одним параметром - углом поворота ср. Скорость изменения этого угла со временем ю = d(p/d/ называется угловой скоростью вращения тела. Все точки тела движутся по окружностям со скоростью v = юг, где г - расстояние от точки до оси вращения.

Разобьем тело на малые элементы, Ат. - масса /-го элемента, г. - расстояние от него до оси. Скорость этого элемента v, = сor.. Имеем (см. формулу (2.43)):

Здесь F xt - тангенциальная внешняя сила, действующая на элемент, AF. - тангенциальная внутренняя сила. Умножим уравнение (3.102) на г п выразим скорость элемента через угловую скорость и просуммируем полученное уравнение по всем элементам. Получим

Сумма в левой части этого равенства

называется моментом инерции тела относительно заданной оси , первая сумма в правой части

называется моментом внешних сил относительно заданной оси.

Обратите внимание. Вклад в этот момент дают только тангенциальные составляющие внешних сил, т. е. проекции сил на касательную к окружности в точке приложения силы. Это означает, что силы, направленные вдоль перпендикуляра к оси или параллельно оси, не дают вклада в момент.

Вторая сумма в правой части (3.103) равна нулю (внутренние силы не влияют на вращение тела вокруг оси). Таким образом, получаем уравнение движения твердого тела вокруг заданной оси :

Величина е = ~ называется угловым ускорением.

Обратите внимание. Уравнение (3.106) скалярное. Однако следует учитывать знаки величин, входящих в уравнение. Это делается следующим образом: задаемся (произвольно) положительным направлением угла поворота; моменты сил, вращающих тело в положительном направлении, пишем со знаком плюс, в противоположном - со знаком минус.

Задача 3.24. Однородный диск радиусом R может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. На диск намотана

нить, к концу которой приложена сила F. Нить сматывается с диска под действием этой силы (рис. 3.5). Определить длину нити, смотавшейся с диска к моменту времени /.

Решение. Если диск повернется на угол d

Rdtp. Отсюда

него сойдет кусок нити длиной ds = /?d

Задача сводится к нахождению угла, на который повернется диск за время /. Обратимся к уравнению (3.106). На диск действует сила натяжения нити в точке схода нити с диска. Если масса нити равна

нулю, эта сила равна силе F. Эта сила тангенциальна, и ее момент относительно оси вращения равен Л/= FR. Уравнение принимает вид

Обратите внимание . Уравнение (3.106) по математической структуре тождественно второму закону для одномерного движения частицы (математик сказал бы, что уравнения одинаковы с точностью до обозначений), поэтому методы решения этого уравнения (с точностью до обозначений) те же, что в п. 2.2.8.

поскольку начальная угловая скорость равна нулю. Далее,

Мы нашли угол поворота диска как функцию времени. Это был пример равноускоренного вращательного движения.

Ось вращения диска совпадает с одной из главных осей, так что

/ = /, = mR 72.

Задача 3.25. Диск из предыдущей задачи вращается по инерции, при t = 0 его угловая скорость равна со(0). На диск действует момент сил трения (о воздух), пропорциональный скорости: М= око. Какова будет скорость диска к моменту времени /?

Решение. Пишем:

Таким образом,

(Полезно сравнить это с решением задачи 2.30).

Задача 3.26. Сколько оборотов сделает диск из предыдущей задачи к моменту времени П

Решение. Проблема, очевидно, в том, что время одного оборота меняется. Число оборотов n(t) = (ср(г) - ф(0))/2я, и дело сводится к нахождению угла поворота за время t. Пишем:

что и решает проблему. Проверка: при малых /, разлагая экспоненту, получим

получим, полагая / -»: Дф = со(0)-.

Комментарии. Полученное в задаче 3.25 решение для угловой скорости не совсем соответствует действительности: согласно этому решению угловая скорость стремится к нулю асимптотически, но, очевидно, что на самом деле диск остановится по истечении конечного промежутка времени. Это означает, что принятый закон для момента сил трения нарушается при достаточно малой угловой скорости. Тем не менее результат для полного угла поворота разумен (почему?)

Вернемся к уравнению (3.106). Умножим это уравнение на со = dtp/dt. Получим

Fr.i1F t ds., но это есть сумма работ всех внешних сил при повороте тела на угол dtp. Из закона сохранения энергии (см. формулу (3.30)) следует, что выражение в скобках в левой части (3.107) есть кинетическая энергия вращающегося твердого тела (поскольку расстояния между частицами твердого тела не изменяются, внутренняя потенциальная энергия твердого тела постоянна и внутренние силы работы не совершают). Из формулы (3.107) получаем

Изменение кинетической энергии вращающегося тела равно работе внешних сил. Это частный случай закона сохранения энергии. При этом кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, равна

работа внешних сил

Задача 3.27. К диску из задачи 3.24, вращающемуся с угловой

скоростью со, прижимают с силой F тормозную колодку. Сколько оборотов сделает диск до остановки? Коэффициент трения между диском и колодкой к.

Решение. По аналогии с решением задачи 3.25 можно было бы найти всю кинематику движения диска, но ответ на поставленный вопрос можно дать немедленно на основе формулы (3.108). На диск действует сила трения /^(тангенциальная сила!) с моментом М= - kFR. Других моментов нет. Имеем:

Задача 3.28. Вращающийся маховик является примером механического накопителя энергии. Оценить, до какой угловой скорости нужно раскрутить диск радиусом R = 0,3 м и массой 100 кг, чтобы за счет этой энергии автомобиль мог проехать 20 км.

Решение. Исходим из того, что автомобиль с мощностью двигателя 80 л. с., или 60 кВт, проезжает это расстояние за 20 мин. Двигатель при этом совершает работу А = Nt. Если работа совершается за счет энергии маховика, то

Подставляя числа, получаем

или 900 об/с. (Автомобили с таким источником энергии практически испытывались.)

Снова вернемся к уравнению (3.106). Как мы уже убедились, это уравнение позволяет определить всю кинематику движения тела вокруг фиксированной оси. Возникает вопрос: позволяет ли это уравнение ответить на все вопросы, связанные с таким движением, и в каком отношении находится это уравнение с уравнениями

Ответ на первый вопрос отрицательный. В уравнении учитываются лишь моменты сил, вращающих тело вокруг оси (лежащих в плоскости, ортогональной оси так, что их линии действия не проходят через ось). Уравнение не позволяет определить силы, действующие на ось.

Что касается ответа на второй вопрос, еще раз подчеркнем, что движение твердого тела определяется законами

Здесь V - скорость центра масс; ?„ - собственный момент импульса (относительно центра масс); определяемый формулой (3.86), М 0 - момент сил относительно центра масс. Кинетическая энергия тела определяется формулой (3.99). Это фундаментальные (справедливые всегда) законы. Применим эти формулы к рассматриваемому случаю.

Выберем начало координат в некоторой точке на оси вращения.

Пусть R - радиус-вектор центра масс тела и л - единичный вектор вдоль оси вращения, совпадающий по направлению с вектором

угловой скорости. Имеем: со = ло>, |к| = |шх л| = асо, где а - расстояние от оси вращения до центра масс.

Кинетическая энергия тела

(Последнее равенство получено на основе формулы (3.109).) Если а - 0 (ось проходит через центр масс),

где / 0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Величина я ? 0 есть проекция собственного момента импульса тела на ось вращения. Из формулы (3.113) получаем

Возвращаясь к формуле (3.112), с учетом (3.114) будем иметь

Отсюда находим связь между моментами инерции относительно заданной оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс:

(так называемая теорема Штейнера).

Займемся моментом импульса. Выберем начало координат на оси вращения в точке пересечения оси с плоскостью, в которой вращается центр масс (это не обязательно, но облегчает анализ). Имеем:

Первое слагаемое в правой части (орбитальный момент) дает вектор, направленный вдоль оси вращения: пта 2 а>. Собственный момент импульса

или, учитывая, что со = сой,

Базисные векторы вращаются вместе с телом, так что, напри- cl/ _ г

мер, - = со х /, поэтому

(было учтено, что й - постоянный вектор и dn/dt = 0). Этот результат означает, что компоненты вектора й постоянны, а это, в свою

очередь, означает (согласно формуле (3.117)), что вектор Z 0 вращается вместе с телом и изменяется со временем, даже если угловая скорость вращения тела постоянна (вектор Z 0 описывает коническую поверхность, ось которой задается вектором й). Из формулы (3.117) получаем

(Напомним, что для любого вектора, «вмороженного» в тело, ^ = со ха.)

Первое из уравнений (3.111) примет вид

(начало координат в центре окружности |л| = а, по которой движется центр масс), второе -

Эти два уравнения определяют силы и моменты сил, действующие на тело, вращающееся вокруг фиксированной оси. Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и никакие силы, кроме сил со стороны оси, на него не действуют, формулы (3.119) и (3.120) определяют силу и момент сил, действующие на тело со стороны оси, а взятые с обратным знаком - со стороны тела на ось. Первое из уравнений дает «центробежную силу», направленную перпендикулярно оси. Если ось проходит через центр масс, эта сила равна нулю. Второе принимает вид

Видим, что вектор момента сил направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат ось вращения и момент импульса, и вращается вместе с телом. Этот момент стремится повернуть ось в плоскости, ортогональной моменту силы, и должен компенсироваться силами в подшипниках, удерживающих ось. Этот момент обратится в нуль, если ось вращения и вектор момента импульса параллельны, а это возможно лишь в случае, когда ось вращения параллельна одной из главных осей тензора инерции. В технике проблема уравновешивания быстро вращающихся маховиков очень важна.

Обращаясь к формуле (3.116), напишем

Умножая это равенство скалярно на вектор Я и учитывая формулы (3.114), (3.115), получаем

Таким образом, величина, фигурирующая в левой части равенства (3.106), есть проекция полного момента импульса на ось вращения тела. Тогда правая часть этого равенства есть проекция полного

момента сил на ось вращения: М = Я М (в этом можно было убедиться и непосредственно). Таким образом, выведенное в начале этого пункта уравнение (3.106) есть просто следствие фундаментального уравнения

Выводы

Кинематика вращения твердого тела вокруг фиксированной оси определяется формулой (3.106). Момент инерции относительно оси определяется по формуле (3.105) и сложным образом связан с тензором инерции. Момент сил относительно оси (формула (3.105)) есть проекция момента сил на ось вращения. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, определяется формулой (3.109), которая является следствием общей формулы (3.9). Силы, действующие на ось, могут быть найдены из формул (3.111).

Обратите внимание. Следует различать понятия «моменты импульса и сил относительно оси» и просто «моменты... ». Первые - скалярные величины, вторые - векторные. Для определения первых нужно задать ось, для вторых - точку.

Задача 3.29. Твердое тело может вращаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Момент инерции тела относительно оси /, расстояние от оси до центра масс /, масса тела т. Тело отклонили от положения равновесия на угол

Решение. Ось х - горизонтальна, ось у - вертикально вниз, центр масс движется в плоскости хОу, ось вращения проходит через начало координат, R - радиус-вектор центра масс, R и осью у. На тело действуют силы: со стороны оси F, и сила тяжести. При отклонении тела на угол М = -wg/sincp (здесь / - расстояние от оси до центра масс). Уравнение (3.106) принимает вид

Это уравнение, с точностью до обозначений, тождественно уравнению (2.149) и решается точно так же (проделайте это). Для малых углов отклонения получим

Это гармоническое колебание.

Задача 3.30. Маятник представляет собой диск радиусом /?, массой т на невесомом стержне длиной /. Плоскость диска - в плоскости качания маятника. Как будет двигаться такой маятник при малых углах отклонения?

Решение. Формула (3.123) дает ответ, но надо определить момент инерции этой системы относительно оси вращения. Ось вращения параллельна одной из главных осей диска с моментом инерции относительно этой оси /. = - тЯ 2 . Эта величина будет равняться моменту инерции системы / 0 относительно оси, проходящей через центр масс. Момент инерции маятника найдем по теореме Штейнера: / = / п + та 2 = тЯ 2 /2 + m(l + Я / 2) Эту величину нужно подставить в формулу (3.123). Вместо / в эту формулу нужно подставить / + Я/ 2.

Задача 3.31. Изменится ли результат предыдущей задачи, если диск повернуть так, что его плоскость будет перпендикулярна плоскости качаний маятника?

Ответ. Изменится. В этом случае ось вращения системы параллельна другой главной оси диска с меньшим (в два раза) моментом инерции.

Задача 3.32. Как изменится решение задачи 3.30, если учесть массу стержня /я,?

Решение. Момент инерции относительно оси - величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Поэтому к найденному в задаче 3.30 моменту инерции диска нужно добавить момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню. Эта ось параллельна одной из главных осей стержня с моментом / 2 = / 3 = ml 2 /12 . По теореме Штейнера найдем, что момент относительно конца стержня будет равен ml 2 /3.

Задача 3.33. В условиях задачи 3.29 определить силу, действующую на ось маятника.

Решение. На маятник действуют две внешние силы: F x со стороны оси и сила тяжести mg. Имеем (обозначения см. в задаче 3.29):

Уравнение (3.119) принимает вид

В решении задачи 3.29 показано, что - = 1 -sintp.

Дело сводится к нахождению угловой скорости. Обратимся к закону сохранения энергии. Очевидно, что в отсутствие сил трения, которые мы не учитываем, механическая энергия системы сохраняется: W k + W n = const. Потенциальная энергия W n - это энергия

маятника в поле тяжести. Имеем: R = /7 sintp + jl costp,

Закон сохранения энергии дает уравнение

(в правой части стоит начальная энергия системы). Отсюда

Мы нашли угловую скорость как функцию положения маятника. Возвращаясь к формуле (3.124) для силы, получим

Это и есть сила, действующая на ось маятника. Видим, что горизонтальная составляющая силы отлична от нуля, но равна нулю в положении равновесия. Вертикальная составляющая максимальна в положении равновесия. Очевидно, что математический маятник (материальная точка на конце невесомого стержня) есть частный случай рассмотренной системы. Полагая /= ml 2 , получаем результат для математического маятника.

Задача 3.34. К вертикальной стене прислонена доска длиной / и массой т. В момент времени t = 0 доска начинает падать. Найти силу, действующую на опорный конец доски.

масс доски движется в плоскости хОу, R = / -jsin

радиус-вектор центра масс (

• - г dtp г
• (о = -к- = -ксо. На доску действуют внешние силы: F на нижний at

конец и сила тяжести mg в центре масс. Уравнение (3.119) принимает вид

Угловую скорость, как и в предыдущей задаче, найдем из закона сохранения энергии:

(Было учтено, что момент инерции доски, как и тонкого стержня,

т т 1 г

равен I = -^-.)

Для определения углового ускорения необходимо обратиться к уравнению (3.106). Центр масс доски, к которому приложена сила тяжести, движется по окружности, тангенциальная составляющая силы тяжести равна /ngsin

оси М = -^-sincp, других моментов нет. Таким образом, Уравнение (3.126) принимает вид

где т - единичный касательный вектор к траектории центра масс. Подставляя это в формулу (3.127) и разрешая полученное уравнение относительно силы, получаем

Это сила, действующая на нижний конец доски. Горизонтальная составляющая силы при

потом начинает убывать, и при

значит, что далее доска теряет контакт со стеной, и при больших углах решение неверно. (Если бы нижний конец доски был закреплен на шарнире, решение было бы верно при любых углах.) Более того, численный анализ показывает, что вертикальная составляющая силы при угле