Модель лоренца. «Моделирование аттрактора Лоренца
Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 1, 2007 УДК 517.9
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ
А.М. Мухамедов
В рамках ранее предложенной модели хаотической динамики сплошной среды получена реализация трехмерного режима пульсаций скорости течения, отвечающего аттрактору типа Лоренца. Решение представляет собой набор структур, определяющих геометрию редуцированного к трехмерному случаю расслоенного многообразия, образованного пульсациями скоростей течения среды. Сама динамика аттрактора Лоренца проявляется в виде временной зависимости пульсаций скоростей вдоль линий тока среднего течения.
Как известно, один из классических примеров детерминированного хаоса -аттрактор Лоренца - открытый в результате гидродинамических исследований прикладного характера, все еще не получил адекватного воспроизведения в формализме существующей турбулентной механики. В работах автора была высказана гипотеза о том, что классическое гидродинамическое решение этой задачи не может быть получено в принципе, и предложено обоснование такого вывода. В его основе лежало понимание того, что аттракторные модели хаотической динамики затрагивают мезоскопический уровень движения сплошной среды, и что в классических уравнениях Навье - Стокса этот уровень не представлен. Отсюда следовало предложение расширить варианты решения проблемы аттрактора Лоренца за счет явного включения в математический формализм гидродинамики дополнительных мезоструктур, выводящих аппарат этой теории за рамки классических операций с уравнениями Навье - Стокса.
В настоящее время аттракторные режимы динамики сплошных сред конструируются в рамках моделей, представляющих собой далеко уходящие абстракции движения сплошной среды, почти не использующие представления о механических взаимодействиях частиц среды друг с другом . В одних случаях эти абстракции отображают свойства операторов эволюционного типа, действующих в иерархии вложенных друг в друга гильбертовых пространств. В других случаях они отображают динамику конечномерных систем, воспроизводящих изменения состояний среды, но при этом каждое из состояний актуально представлено всего лишь точкой соответствующего фазового многообразия. Подобное моделирование не отвечает прикладному назначению гидромеханики, требующему воспроизведения всех существенных структур непосредственно, то есть в пространстве, занятом сплошной средой. Если учесть аргументы теоретических и экспериментальных данных в пользу
существования такого представления , то воспроизведение аттракторов в контексте динамики пространственно-временных характеристик среды представляется настоятельной необходимостью.
В данной работе строится аттрактор Лоренца в рамках предложенной в модели турбулентной динамики. Согласно этой модели, фазовыми пространствами турбулентных режимов являются расслоения струй пульсаций гидродинамических величин. Геометрия пульсационных расслоений предполагается априори произвольной, определяемой моделируемыми особенностями соответствующих хаотических режимов. Основным объектом моделирования является хаотическая структура, представляющая собой комплекс неустойчивых траекторий движения точек среды. Предполагается, что каждому установившемуся турбулентному режиму отвечает вполне определенная хаотическая структура. В траектории хаотической структуры отождествлялись с множеством интегральных кривых неинтегрируемого (неголономного) распределения типа Пфаффа, заданного на расслоении пульсаций динамических переменных.
Характерной чертой предложенной модели является способ Лагранжа описания движения среды, не сводящийся, в общем случае, к описанию движения в переменных Эйлера. При этом оказалось, что описание Лагранжа замечательно приспособлено для отображения динамики систем со странными аттракторами. Вместо жестких ограничений парадигмы Эйлера описание Лагранжа накладывает гораздо более мягкие условия, служащие для определения геометрических объектов соответствующих неголономных распределений. Такое изменение акцента моделирования позволяет воспроизводить разнообразные аттракторы в динамике пучков частиц континуальных сред.
1. Зададимся уравнениями динамики пульсаций трехмодового режима
(уг + 4 (х,у!)(хк = Аг{х,у^)(И {1,3,к = 1,2,3), (1)
где хк и уг образуют наборы пространственных и динамических координат расслоения пульсаций, а объекты шгк{х,у^)(хк и Аг{х,у^)М определяют собой характер межмодовых взаимодействий режима. Можно рассматривать эти объекты и само уравнение (1) как правила образования производных от динамических координат по пространственным координатам и времени, определяемых реальной турбулентной эволюцией. Инвариантный геометрический смысл этих объектов состоит в том, что в расслоении пульсаций они определяют объект внутренней связности и вертикальное векторное поле, соответственно.
Предположим, что введенные выше динамические координаты имеют смысл пульсаций скорости течения среды, то есть актуальная скорость среды может быть разложена на поле скоростей среднего течения и пульсации по формуле
иг{х,у)= и0 {х)+ уг. (2)
Уравнения баланса массы и импульса примем в форме стандартного уравнения неразрывности и уравнения Навье - Стокса
Чр + уДи. (4)
Данная система уравнений еще не полна, так как в уравнение (4) входит давление, являющееся термодинамической переменной, динамика которой, в общем случае, выходит за рамки кинематики. Для описания пульсаций давления требуются новые динамические координаты, что увеличивает число необходимых степеней свободы для описания соответствующего турбулентного режима движения. Введем новую динамическую переменную, имеющую смысл пульсаций давления, то есть примем
p(x,y)= po(x)+ y4. (5)
Таким образом, первоначальный набор требуемых динамических координат для отображения движения сплошной среды является четырехмерным.
Возможность редукции к трехмерной системе с динамикой, аналогичной динамике системы Лоренца, заключается в том, что в уравнение (4) давление входит в виде градиента. Отсюда следует, что редукция к трехмерной динамике пульсаций скоростей может быть выполнена, если входящий в уравнение (4) градиент давления будет содержать только первые три динамические координаты. Для этого достаточно потребовать, чтобы в уравнениях динамики для четвертой координаты
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
коэффициенты форм связности w4(x,yj)dxk зависели только лишь от первых трех динамических координат. Заметим, что трехмерный режим может оказаться неустойчивым с точки зрения более полного описания, включающего в себя рассмотрение всех возбуждаемых степеней свободы. Тем не менее, мы ограничимся моделированием именно этой априори возможной динамики.
Рассмотрим условия, накладываемые уравнениями баланса (3), (4) на выражения неизвестных величин wk(x,yj)dxk и Ai(x,yj)dt, входящих в динамическое уравнение (1). Для этого подставим (2) и (5) в (3) и (4), и воспользуемся уравнениями (1) и (6). Для упрощения возникающих выражений будем считать пространственные координаты xk декартовыми. В этом случае можно не различать верхние и нижние индексы, поднимая и опуская их по мере необходимости записи ковариантных выражений. Тогда получим следующие уравнения для коэффициентов уравнения (1)
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)
где введено обозначение Dj = dj - wk^y.
Для дальнейшего конкретизируем постановку задачи. Будем рассматривать режим, среднее поле скоростей которого описывает течение простого сдвига
uk = Ax3à\. (9)
Кроме того, сделаем предположения и в отношении геометрии расслоенного пространства пульсаций. Будем считать связность расслоения линейной функцией по динамическим координатам, то есть w^ = waj (x)yj (а = 1,..., 4). В этом случае из уравнения (8) сразу следует, что второй объект приобретает полиномиальную по динамическим координатам структуру. А именно, вертикальное векторное поле становится многочленом второго порядка по динамическим координатам, то есть
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Таким образом, неизвестными функциями, определяющими уравнение динамики пульсаций рассматриваемого трехмодового режима, являются коэффициенты юак(х), Аг0{х), Агк{х) и А3к{х), для определения которых имеем уравнения (3) и (4). Заметим при этом, что уравнение (4) по существу сводится к определению коэффициентов вертикального векторного поля, тогда как выбор коэффициентов связности ограничивает только лишь уравнение неразрывности (3). Это уравнение оставляет значительный произвол в определении коэффициентов связности, оставляя тем самым широту моделирования пространственной структуры динамики пульсаций, согласованных с выбранным средним течением.
2. Рассмотрим возможность получения в данной задаче аттрактора типа Лоренца. С этой целью, прежде всего, обсудим разложение актуальных значений скорости на среднюю скорость и пульсации около среднего.
По смыслу пульсаций их временное среднее должно быть равным нулю, то есть
(у)т - 0. (10)
Вместе с тем, пульсации определяются как отклонения актуальных значений скорости от осредненного значения. Если среднее течение считать заданным, то отмеченное обстоятельство не позволяет выбирать в качестве модельного уравнения хаоса произвольную систему уравнений с хаотической динамикой. Для того чтобы переменные модельной системы уравнений можно было рассматривать как пульсации реальных гидромеханических величин, требуется выполнение условий (10). Если же (10) не выполняется, то это означает существование в динамике пульсаций неучтенного дрейфа. Соответственно, принятая модельная система оказывается несогласованной либо с учитываемыми действующими факторами, либо со структурой допускаемого среднего течения.
Далее, уравнение (1) является в общем случае не вполне интегрируемой системой типа Пфаффа. Свойство неинтегрируемости этого уравнения является принципиально важным, отвечающим характерной для турбулентного движения особенности. А именно, в процессе движения любые макроскопически малые турбулентные образования, частицы, моли, глобулы, утрачивают свою индивидуальность. Эта особенность учитывается неинтегрируемостью уравнения (1). По существу, (1) описывает ансамбль возможных траекторий движения точек континуума, образованного сплошной средой. Эти траектории определены в расслоении пульсаций. Их проекции на пространство, занимаемое сплошной средой, определяют динамику развития пульсаций вдоль соответствующих пространственных кривых. Заметим, что последние могут быть выбраны произвольно, определяя собой возможность рассмотрения динамики пульсаций вдоль любой пространственной кривой.
Рассмотрим для определенности динамику пульсаций вдоль линий тока среднего течения. Тогда имеем следующие динамические уравнения:
хг = и0, (11)
уг + ш)к у3 4 = Аг. (12)
Прежде чем рассматривать эту систему, преобразуем ее к безразмерным переменным. Для этого в исходном уравнении (4) вместо коэффициента вязкости введем
число Рейнольдса. Затем устраним явную зависимость от этого числа с помощью замены
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
Опуская знак надчеркивания над переменными, из (12) получаем
уг = ДиО - и!кдкиО - дгро + у3{-дзиО + <г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Проанализируем (13). Заметим, что используемая модель предполагает развитую турбулентность, то есть число Рейнольдса должно считаться достаточно большим. Тогда, если безразмерные величины имеют значения порядка единицы, то реальные размерные величины в соответствии с (13) будут указывать масштаб проявления динамики. В частности, из (13) следует, что пространственные масштабы оказываются малыми. Тем самым, используемая модель должна рассматриваться, прежде всего, как модель процессов турбулентного перемешивания на мезоскопическом уровне разрешения сплошной среды.
Теперь обратимся к анализу (11) и (12). Легко видеть, что для выбранного среднего течения уравнение (11) имеет простые интегралы. Соответствующие этому уравнения линии тока среднего течения представляют собой прямые, параллельные координатной оси х1. Исключая пространственные координаты, из (12) получаем в общем случае систему неавтономных дифференциальных уравнений. При этом, если коэффициенты связности и градиент давления не зависят от координаты х1, то система (14) становится автономной, содержащей оставшиеся пространственные координаты х2 и х3 в качестве параметров. В этом случае открывается реальный путь к прямому моделированию пространственно неоднородной квазистационарной динамики пульсаций. Ниже будет приведен пример такого моделирования.
В заключение этого пункта заметим, что возникновение неголономного распределения, задаваемого системой Пфаффа (1), (6), является следствием предположения о том, что в состоянии установившейся сильной турбулентности класс возможных траекторий движения частиц среды является стабильным образованием. Необходимым условием этой новой стабильности является требование неустойчивости траекторий движения точек, что, в свою очередь, предполагает большие значения числа Рейнольдса. Попытка распространения подхода на малые значения числа Яе является необоснованной.
3. Обратимся к построению примера, в котором пульсации скорости вдоль траекторий среднего течения описываются канонической системой типа Лоренца. Для простоты будем считать все коэффициенты связности постоянными. В этом случае получаем пространственно-однородную вдоль линий тока среднего течения динамику, которая, тем не менее, вдоль произвольных линий не является пространственно-однородной. Будем называть сделанное допущение квазиоднородным приближением.
Наша задача состоит в том, чтобы придать уравнению (14) вид канонической системы Лоренца. Первым видимым препятствием для этого оказывается неопределенность отождествления динамических координат и соответствующих переменных
из канонической системы. Полагая, что различные типы механизмов межмодовых взаимодействий позволят смоделировать любые из подобных отождествлений, выберем следующий вариант. Пусть структура уравнения (14) имеет следующий вид:
у1 = а(-у1 + у2), (15)
у2 = (г - (г))у1 - у2 - у1у3, (16)
у3 = -у(у3 + (г)) + у1у2, (17)
где явно выделено регулярное слагаемое, которое в соответствии со сказанным в п. 2 должно быть исключено из выражения для пульсаций.
х = о(-х + у), у = гх - у - хг, г= -у г + ху. (18)
Для этого предположим, что временные средние для переменных системы (18) существуют. Исходя из инвариантности этой системы относительно преобразований
х ^ -х, у ^ -у, г ^ г (19)
естественно ожидать, что средние для первых двух переменных должны быть нулевыми. Тогда подстановка
х ^ х, у ^ у, г ^ г + (г) (20)
в (18) дает систему уравнений (15) - (17).
В этой связи отметим, что для различных значений параметров системы Лоренца возможны решения как с нулевыми, так и с отличными от нуля средними значениями первых двух переменных . Имея это в виду, ограничим последующее рассмотрение первой из указанных возможностей. Кроме того, заметим, что подстановка (20) может быть выполнена и в том случае, когда слагаемое в третьем выражении (20) не будет иметь смысла временного среднего. При этом для последующей интерпретации может потребоваться новое определение процедуры осреднения. В общем случае пригодное определение потребует уточнения временных масштабов рассматриваемых явлений. Ясно то, что подобные переопределения потребуют более детального учета как начальных данных, так и вариаций параметров системы. Известный эффект взаимодействия хаотических аттракторов показывает, каким образом могут возникать неоднозначности в определении средних при малых вариациях параметров движения .
Вернемся к нашему рассмотрению. Сравнивая коэффициенты системы (15) -(17) и (14), получаем
(ДиО - и£дки0 - с/ро) =
(-3]иО + - дкю] + ю^) =
V -У (г)) (-о
г -(г) -1 0 V 0 0 -у У
Кроме того, из (7) имеем
дк и0 = 0, 0.
Рассмотрим (21) и (24). Подставляя выражение (9), легко видеть, что (24) выполняется тождественно, а (21) сводится лишь к определению среднего градиента давления. При этом градиент оказывается перпендикулярным к средней скорости течения, что является следствием выбранного отождествления переменных канонической системы Лоренца и компонент пульсаций скорости.
Обратимся к уравнениям (23) и (25). Из (23) получаем однозначные выражения для симметризованных по нижним индексам компонент объекта связности. Антисимметричная часть определяется из (25) с некоторым произволом. Общее решение этих уравнений дается следующим выражением:
/ аё,х2 - Ьйхг -айх1 + сд,х3 Ьйх1 - сйх2 \
ейх2 - /йх3 -ейх1 + Ьйх3 (/ - 1)йх1 - Ьйх2 V ря1х2 - ейх3 (-р + 1)йх1 + айх3 ейх1 - айх2)
Обратимся к оставшемуся уравнению (22). Это матричное уравнение представляет собой систему из 9 квадратичных алгебраических уравнений
Ь2 - с(р + /) +
ае - Ьр + Юр = г - (г) ,
еЬ - а/ + ю43 = 0,
ае - Ьр + Ь + Ю21 = о,
С/ + е2 + Ь2 - (1 - /)(1 - р) + ю42 = -1,
Ес + аЬ + ю43 = 0,
А/ + еЬ + а - А + юЗ1 = 0 ,
Ес + аЬ + ю42 = 0,
Ср - (1 - /)(1 - р) + е2 + а2 + юЗ3 = -у.
Неизвестными в ней являются 6 коэффициентов связности (26), 9 компонент тензора давления, 1 коэффициент, определяющий величину средней скорости, и 3 параметра системы Лоренца. Отсюда следует, что решение этой системы определяется со значительным параметрическим произволом. В рассматриваемом трехмерном режиме тензор градиента давления ю>4г является произвольным и за счет его конкретизации можно смоделировать желаемую динамику при любом, заранее фиксированном, выборе коэффициентов связности. Для многомерных режимов компоненты тензора давления включены в более полную систему уравнений, учитывающих динамику всех возбуждаемых степеней свободы. В этом случае тензор давления уже не может быть произвольным. В этой связи интересно рассмотреть различные частные варианты определения тензора давления, предполагая, что физически разумные допущения должны находить свои представления в более полных, учитывающих многомерную динамику, уравнениях. Будем предполагать тензор градиента давления диагональным с нулевой компонентой, отвечающей координате у2. В этом случае (22) имеет следующее точное аналитическое решение:
ю!1 = .1 - а, ю43 = .1 - у + 1, .1 = (К - а) а - А2, К = г - {г), (27)
К - а т Ка, К - а АК
а = А, Ь = а - К, с =-- .1, р =-, f = -- К, е =---. (28)
Рассмотрим полученное решение (27), (28). В нем остались произвольными величины А, г, а, у, определяющие величину градиента скорости среднего течения, и три параметра модельной системы Лоренца. Все остальные характеристики движения выражены как функции отмеченного набора величин. За счет выбора определенных значений этих величин можно варьировать динамику пульсаций, а по формулам (26), (27) находить соответствующие значения компонент объекта связности. Если учесть, что каждый объект определяет характер взаимодействий пульсаций, то тем самым появляется возможность варьировать различные типы самих взаимодействий. В частности, варьировать величину компонент тензора давления. Следует заметить, что в некоторых случаях эти компоненты можно обратить тождественно в нуль. Особенность решений (27), (28) состоит в том, что обратить компоненты тензора давления в нуль, оставаясь в области тех значений параметров системы, для которых возникает динамика Лоренца, оказывается невозможным. (Однако это вполне возможно в области тех значений параметров, при которых динамика пульсаций является регулярной.)
Произведем некоторые оценки. Пусть параметры модельной системы отвечают аттрактору Лоренца с параметрами а = 10, г = 28, у = 8/3. В этом случае расчеты показывают, что пульсации имеют характерное время т ~ 0.7. В пределах расчетного промежутка времени Ь = 0 + 50, значения пульсаций принадлежат интервалам у1 = -17.3 + 19.8, у2 = -22.8 + 27.2 и у3 = -23.2 + 23.7.
Сопоставим абсолютные значения пульсаций скорости и градиента средней скорости. Из (13) следует, что пульсации получаются делением относительных значений на число л/Йё, тогда как градиент средней скорости остается неизменным. Примем для градиента скорости значение, равное единице по порядку величины, то
есть А ~ 1. Тогда при значении Яе=2000, то есть при нижнем критическом значении , для пульсаций получаем порядок величины, равный 50% от величины градиента. Для случая Яе=40000, пульсации скорости достигают только лишь 10%% от принятого значения градиента средней скорости. Отсюда видно, что разумные пропорции между средней скоростью и пульсациями могут быть обеспечены лишь в некотором диапазоне чисел Яе.
4. Новые данные выявляются при рассмотрении движения точек среды. Для динамики Лоренца в квазиоднородном приближении уравнения движения точек имеют вид
r -(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Эта система оказывается линейной с постоянными коэффициентами. Ее общее решение легко может быть получено элементарным интегрированием. Поэтому отметим только качественные особенности траекторий движения точек. Из характеристического уравнения для скоростей движения получаем, что имеется два отрицательных и один положительный корень. Тем самым в каждой точке пространства выделяются два сжимающих и одно растягивающее направления. Эти особенности динамики являются инвариантными характеристиками, которые могут быть использованы для классификации аттракторов, отвечающих течениям с одинаковыми значениями средней скорости.
Как следует из общего решения системы (29) и (30), возможные перемещения точек среды в направлениях, трансверсальных к линиям тока среднего течения, не ограничены. А именно, в проекции на ось х3 происходит регулярный дрейф. При этом точки, перемещаясь перпендикулярно линиям тока среднего течения, попадают в область больших значений скорости. В этом случае число Яе возрастает, что ведет к уменьшению относительной величины пульсаций. В рамках сделанного квазиоднородного приближения этот эффект ведет к относительному уменьшению пульсаций и, в конечном счете, к их вырождению во флуктуации.
Библиографический список
1. Mukhamedov A.M. Turbulent models: problems and solutions //17 IMACS Congress, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. Vol. 29. P. 253.
3. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167.
4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989. 296 с.
5. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. Freeman. San Francisco, 1982.
6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems // J. Phys. A. 1984. Vol.17. P.3521.
7. Elnaschie M.S. The Feynman path integrals and E-Infinity theory from the two-slit Gedanken experiment // International Journal of Nonlinear sciences and Numerical Simulations. 2005. Vol. 6(4). P. 335.
8. Мухамедов А.М. Ансамблевые режимы турбулентности в сдвиговых течениях // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2003, № 3. С. 36.
9. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Релея // ВИНИТИ. 31.07.78. № 2611-78.
10. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.
Казанский государственный Поступила в редакцию 23.01.2006
технический университет После доработки 15.08.2006
LORENZ ATTRACTOR IN FLOWS OF SIMPLE SHIFT
In the frame of a model given before for simulation of chaotic dynamics of continuum medium the Lorenz attractor is represented. The simulation is given with the help of the structures that define the geometry of a fiber bundle associated with 3-dimensional regime of velocity pulsations. Lorenz dynamics appears as time dependence of pulsations along the lines of average flow.
Мухамедов Альфэрид Мавиевич - родился в Казани (1953). Окончил физический факультет Казанского государственного университета по кафедре гравитации и теории относительности (1976). Докторант кафедры теоретической и прикладной механики Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева. Автор 12 работ по данной тематике, а также монографии «Научный поиск и методология математики» (Казань: Изд-во КГТУ, 2005, в соавторстве с Г.Д. Тарзимановой). Область научных интересов - математические модели хаотической динамики, геометрия расслоенных многообразий, методология современной математики.
решение системы при r =24,06
решение системы при r =28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца
решение системы при r =100 ― виден режим автоколебаний в системе
В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник .
Применимость и соответствие реальности
Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.
- Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея , σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
- Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
- Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
- Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация , z - инверсия населённостей энергетических уровней , b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки .
Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.
Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.
Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра r {\displaystyle r} , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.
Поведение решения системы
Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.
- r <1 - аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.
- 1<r <13,927 - траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:
{ x = ± b (r − 1) y = ± b (r − 1) z = r − 1 {\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\sqrt {b(r-1)}}\\y=\pm {\sqrt {b(r-1)}}\\z=r-1\end{cases}}}
Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.
- r ≈13,927 - если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку - возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.
- r >13,927 - в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel - отталкивать).
- r ≈24,06 - траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r ≈24,74.
При больших значениях параметра траектория претерпевает серьезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.
Значимость модели
Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений («зуб пилы» , «тент» , преобразование пекаря , отображение Фейгенбаума и др.).
Программы, моделирующие поведение системы Лоренца
Borland C#include
data = Table [ With [{ N = 1000 , dt = 0.01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 }, NestList [ Module [{ x , y , z , x1 , y1 , z1 }, { x , y , z } = # ; x1 = x + a (- x + y ) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; { x1 , y1 , z1 }] & , { 3.051522 , 1.582542 , 15.62388 }, N ] ], { j , 0 , 5 }]; Graphics3D @ MapIndexed [{ Hue [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]} & , data ]
JavaScript и HTML5< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script > var cnv = document . getElementById ("cnv" ); var cx = cnv . getContext ("2d" ); var x = 3.051522 , y = 1.582542 , z = 15.62388 , x1 , y1 , z1 ; var dt = 0.0001 ; var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt (cnv . getAttribute ("height" )); var w = parseInt (cnv . getAttribute ("width" )); var id = cx . createImageData (w , h ); var rd = Math . round ; var idx = 0 ; i = 1000000 ; while (i -- ) { x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (rd (19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ) * w ); id . data [ idx + 3 ] = 255 ; } cx . putImageData (id , 0 , 0 );
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕСИТЕТ”
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
ОТЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ»
«Моделирование аттрактора Лоренца»
ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТЫ ГИП-105:
ЗАКОНОВ Н. И.
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:
ПИЯВСКИЙ С. А.
Задание
Запрограммировать на языке С# модель Лоренца с отображением в виде диаграмм хода процесса, проверить правильность программирования, получив «бабочку Лоренца» при стандартных значениях параметров.
Исходные данные
Наиболее яркий пример динамического хаоса обнаружил в 1963 году метеоролог Эдвард Лоренц, pешая задачу о тепловой конвекции жидкости.
Максимально упрощая уравнения, описывающие это явление, Лоренц случайно наткнулся на то, что даже сравнительно простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка может иметь решением совершенно хаотические тpаектоpии.
Эта система уравнений, ставшая теперь классической, имеет вид:
Решение этих уравнений - функции X(t), Y(t) и Z(t) - определяют в паpаметpическом виде тpаектоpию системы в тpехмеpном "фазовом" пpостpанстве X, Y,Z. Ввиду однозначности функций, стоящих в правых частях этих уравнений, тpаектоpия себя никогда не пересекает.
Лоpенц исследовал вид этих тpаектоpий пpи pазных начальных условиях пpи значениях паpаметpов r = 28 , у = 10 и b = 8/3 . Он обнаружил, что пpи этом тpаектоpия хаотическим образом блуждает из полупpостpанства x>0 в полупpостpанство x<0, фоpмиpуя две почти плоских, пеpепутанных сложным образом спивали. Эту я проинтегрировал при начальных данных X=3.05 ; Y=1.58 ; Z=15.62 (значения взяты лишь для удобства моделирования) и увидеть то, что показано дальше на Рисунке 1.
Поведение решения системы
Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r (мог быть взят любой другой параметр).
r < 1 - точками колебания является начало координат, других устойчивых точек нет.
Рисунок 2 – Модель системы при r < 1
r = 14 - траектория спирально приближаются к одной точке
Рисунок 3 – Модель системы при r = 14
14 < r < 24 - в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек
Рисунок 4 – Модель системы при 14 < r < 24
r > 24 - траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца.
Рисунок 5 – Модель системы при r < 24
Вывод
Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением. Исследуя поведение системы при различных значениях набора параметров, можно убедиться в том, что существуют переходы между состояниями системы (графиками системы).
Наиболее интересно для меня является колебательная фаза, находясь в которой система колеблется между двумя статичными точками, но не достигает их.
Литература
1. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Системный анализ» / ; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т./ Самара, 20с.
Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.
Рис. 1.
и фазовые портреты (нижний ряд) для трех различных систем
(Глейк, 2001)
Хотя в работах некоторых математиков ранее была установлена возможность существования странных аттракторов, впервые построение странного аттрактора (рис. 2) как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц (E.Lorentz, 1963). Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Сам же термин «странный аттрактор» появился позже, в работе Д. Рюэлля и Ф. Такенса в (D.Ruelle, F. Takens, 1971: см. Рюэль, 2001) о природе турбуленции в жидкости; авторы отмечали, что размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической.Позже Б. Мандельброт (B.Mandelbrot) отождествил странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, с фракталами.
Рис. 2. (Хаотические траектории в системе Лоренца). Аттрактор Лоренца (Кроновер, 2000)
Лоренц (Lorenz, 1963) обнаружил, что даже простая система из трех нелинейных дифференциальных уравнений может привести к хаотическим траекториям В свою очередь, движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:
где s, r и b -- некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s =10, r =28 и b =8/3 (значения параметров).
Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающим случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций. Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности - так называемый биллиард Я.Г. Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий (за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна) и непредсказуемости поведения системы.
В таких системах «случайность создается подобно тому, как перемешивается тесто или тасуется колода карт» (Кратчфилд и др., 1987). Так называемое «преобразование пекаря» с последовательным растягиванием и складыванием, бесконечным образованием складок - одна из моделей возникновения перехода от порядка к хаосу; при этом число преобразований может служить мерой хаоса. Есть Аттрактор Айдзавы, который является частным случаем аттрактора Лоренца.
где а = 0,95, B = 0,7, с = 0,6, d = 3,5, е = 0,25, F = 0,1. Каждая предыдущая координата вводится в уравнения, полученное в результате значение, умноженное на значения времени.
Примеры других странных аттракторов
Аттрактор ВангСун
Здeсь a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.
Аттрактор Рёсслера
Где a,b,c= положительные постоянные. При значениях параметров a=b=0.2 и
Подробности Опубликовано: 10.07.2018 11:13 : Windows.Лицензия: бесплатно.
Версия: 1.1.0.0.
Аннотация : демонстрируется программа для анализа системы Лоренца, позволяющая наблюдать такие состояния системы, как устойчивый аттрактор, два неустойчивых аттрактора, фокус, гомоклиническая петля с устойчивым и неустойчивыми фокусами, аттрактор Лоренца, предельный цикл и удвоенный предельный цикл.
Скачать: ZIP (архив программы) .
Ключевые слова: аттрактор Лоренца, система Лоренца, исследование системы дифференциальных уравнений Лоренца, аттрактор Лоренца matlab, исследование системы Лоренца, аттрактор Лоренца c++, эффект бабочки, гомоклиническая петля, фазовый портрет Лоренца, фазовый портрет системы Лоренца, фазовое пространство Лоренца, решение системы лоренца, странный аттрактор Лоренца, бабочка Лоренца, гомоклиническая траектория, гомоклиническая структура, хаотическое решение, Эдвард Лоренц.
Система Лоренца представляет собой трехмерную систему нелинейных автономных дифференциальных уравнений. Динамическая система была исследована Эдвардом Лоренцем в 1963 году. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнений Лоренца, является ее хаотическое поведение. Система уравнений записывается в виде
где q, r, b > 0. В результате интегрирования системы были выявлены закономерности, приведенные ниже.
При r>0 и r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).
Рис. 1. Устойчивый аттрактор, r>0 и r<1
При r близкой к 1 возникает критическое замедление. Когда r превышает значение 1, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него ответвляются два аттрактора (рис.2), оба глобально и локально устойчивы.
Рис. 2. Два устойчивых аттрактора, r>1
В случае r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1,345 – фокусами (рис.4).
Рис. 3. Два узла, r=1,3
Рис. 4. Два фокуса, r=10
При увеличении r до величины 13,926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t стремящемся к бесконечности, при этом перестают быть глобальными аттракторами.
В случае r=13,927 точка может совершать колебательные движения из одной окрестности в другую и обратно. Такое поведение называют метастабильным хаосом или гомоклинической петлей (рис.5).
Рис. 5. Гомоклиническая петля, r=13,927
При r>13,927 в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором. Происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых циклов (рис.6).
Рис. 6. Два неустойчивых цикла, r>13,927
При значении r=24,06 траектории ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца (рис.7).
Рис. 7. Аттрактор Лоренца, r=24,06
В случае r>24,06 происходит очередная бифуркация. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r=24,74.
При r=24,74 возникает инверсия бифуркации Хопфа, когда r>24,74 остается «странный аттрактор» (рис.8).
Рис. 8. Странный аттрактор Лоренца, r>24,74
В случае увеличения r до 100 наблюдается автоколебательный режим (рис.9).
Рис. 9. Автоколебательный режим, r=100
При увеличении r до значения 225 происходит каскад бифуркаций удвоения цикла (рис.10).
Рис. 10. Удвоение цикла, r=225
Рис. 11. Два несимметричных периодических решения, r=300
При больших значениях r в системе существует симметричный цикл (рис.12).
Рис. 12. Симметричный цикл, r=400
Программа «Lorenz - программа для изучения системы Лоренца», реализованная в среде разработки Turbo C++, позволяет смоделировать систему Лоренца. Построение фазовых портретов и графика зависимости решений от времени t ведется на основе метода Рунге-Кутта третьего порядка. Интерфейс программы приведен на рис.13.
Рис. 13.
Моделирование поведения системы Лоренца с использованием программы Lorenz предполагает выполнение следующих шагов (рис.14):
- определить начальные координаты (x0,y0,z0);
- задать шаг интегрирования h и число итераций i;
- установить значение коэффициентов q, r, b;
- (опционально) установить индикатор «Подробно» для получения деталей решения;
- нажать кнопку «Вычислить»;
- (опционально) дважды щелкнуть на полученных изображениях для их копирования в буфер обмена.
Рис. 14.
Примеры моделирования поведения системы Лоренца программой Lorenz приведены на рис.15.
Рис. 15.
Литература
- Архангельский А.Я. Программирование в C++ Builder. – М.: Бином-Пресс, 2010. – 1304 с.
- Кирьянов Д. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 432 с.
- Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: МЦНМО, 2012. – 344 с.
Список программ
- MassTextReplacer - программа для массового изменения текстовых файлов ;
- Lorenz - программа для изучения системы Лоренца;
